Свойства вписанной окружности
Вписанная окружность — это окружность, которая касается каждой стороны треугольника или многоугольника. Её центр находится внутри фигуры; для треугольника он является точкой пересечения биссектрис углов.
Вписанная окружность треугольника существует у любого треугольника. Её центр равноудалён от всех сторон, поэтому радиус можно понимать как перпендикулярное расстояние от центра до любой стороны. В многоугольник окружность можно вписать только тогда, когда существует окружность, касающаяся всех его сторон.
Основное свойство и формула
Если площадь фигуры равна \(S\), а периметр — \(P\), то для многоугольника, в который вписана окружность радиуса \(r\), площадь равна сумме площадей треугольников с общей вершиной в центре окружности. Высоты этих треугольников равны \(r\).
Для треугольника, если \(p=\frac{P}{2}\) — полупериметр, часто используют равенство \(S=pr\), то есть \(r=\frac{S}{p}\). Подробную формулу и способы её применения см. на странице радиуса вписанной окружности.
Площадь треугольника равна \(24\ см^2\), а его периметр — \(20\ см\). Тогда радиус вписанной окружности: \(r=\frac{2S}{P}=\frac{2\cdot24}{20}=2{,}4\ см\).
Вписанная окружность касается сторон изнутри фигуры. Описанная окружность, напротив, проходит через вершины фигуры; её свойства рассматриваются на странице свойства описанной окружности.
Где находится центр вписанной окружности треугольника?
Главное
- Вписанная окружность касается всех сторон фигуры, а её центр равноудалён от этих сторон.
- В треугольнике центр — пересечение биссектрис углов.
- Для касательного многоугольника \(r=\frac{2S}{P}\), а для треугольника \(r=\frac{S}{p}\).