Задание № 15 · ОГЭ

Пересечение окружности и хорды

Как связаны радиус окружности, длина хорды и расстояние от центра до неё

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Если из центра окружности опустить перпендикуляр на хорду, он делит хорду пополам. Поэтому расстояние от центра до хорды, длину хорды и радиус можно связать теоремой Пифагора.

Пересечение окружности и хордыХорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.

Пусть окружность имеет центр \(O\) и радиус \(R\), а \(AB\) — её хорда. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра \(OM\), проведённого из \(O\) к прямой \(AB\), где \(M\) — основание перпендикуляра. Если \(AB\) пересекает окружность в точках \(A\) и \(B\), то \(M\) является серединой хорды: \(AM=MB\).

Треугольник \(OMA\) прямоугольный: \(OA=R\), \(OM=d\), а \(AM=\frac{AB}{2}\). Поэтому связь между величинами находится по теореме Пифагора. Это частный случай свойств хорд окружности. При решении задач полезно представить, что хорда вместе с радиусом образует прямоугольный треугольник.

\[R^2=d^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2\]1

Из основной формулы можно выразить нужную величину: \(d=\sqrt{R^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}\) или \(AB=2\sqrt{R^2-d^2}\). Здесь \(d\) — расстояние от центра до хорды, \(R\) — радиус, \(AB\) — длина хорды. Для понимания положения хорды можно сначала обратиться к странице уравнение окружности, а о самом расстоянии — к странице расстояние от центра окружности до хорды.

№

Пример

Радиус окружности равен \(5\) см, расстояние от центра до хорды — \(3\) см. Половина хорды равна \(\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\) см, поэтому вся хорда имеет длину \(AB=2\cdot4=8\) см.

Не перепутайте

Расстояние от центра до хорды — это не длина всей хорды и не расстояние от центра до её конца. Перпендикуляр \(OM\) нужно проводить именно к хорде; его конец \(M\) лежит на хорде и делит её пополам.

Проверьте себя

Радиус окружности равен \(13\), а расстояние от центра до хорды — \(5\). Чему равна длина хорды?

Главное за минуту

Главное

Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам.
Основная формула: \(R^2=d^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2\).
Чтобы найти длину хорды, сначала находят её половину, затем умножают результат на \(2\).