Задания № 12, 18 · ЕГЭ

Уравнение окружности

Как записать окружность на координатной плоскости по её центру и радиусу

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Уравнение окружности — это равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек окружности. Если известны центр и радиус, уравнение можно записать сразу.

На координатной плоскости уравнение окружности с центром \(O(a,b)\) и радиусом \(R\) — это равенство \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2.\) Здесь \(x\) и \(y\) — координаты произвольной точки окружности, а \(a\), \(b\) и \(R\) — координаты центра и радиус.

Основная формула

\[(x-a)^2+(y-b)^2=R^2\]

Формула следует из того, что расстояние между точками на координатной плоскости от центра \(O(a,b)\) до любой точки \(M(x,y)\) окружности равно радиусу \(R\). Квадрат этого расстояния равен \((x-a)^2+(y-b)^2\), поэтому он равен \(R^2\).

№

Пример

Центр окружности — точка \(O(2,-3)\), радиус равен \(4\). Подставляем \(a=2\), \(b=-3\), \(R=4\): \(\boxed{(x-2)^2+(y+3)^2=16}.\) Знак перед \(3\) стал плюсом, потому что \(y-(-3)=y+3\).

Не путайте окружность и круг

Окружность и круг — не одно и то же. Уравнение \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) задаёт только границу, то есть окружность. Все точки круга задаются неравенством \((x-a)^2+(y-b)^2\le R^2\).

Проверь себя

Какое уравнение имеет окружность с центром \((-1,4)\) и радиусом \(3\)?

Главное за минуту

Главное

Для центра \(O(a,b)\) и радиуса \(R\) уравнение окружности имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\).
Координаты центра подставляются со сменой знака внутри скобок: для центра \((-1,4)\) получаем \((x+1)^2+(y-4)^2\).
Равенство задаёт окружность, а неравенство с \(\le\) — круг.