Координаты на плоскости

Координаты позволяют описывать положение точки числами и решать геометрические задачи алгебраическими способами. В этой теме разбираются координатная система, длина отрезка, середина и деление отрезка, уравнения прямой и окружности.

1. Координатная система и точки

На плоскости выбирают две перпендикулярные числовые оси: горизонтальную ось \(Ox\) и вертикальную ось \(Oy\). Их пересечение называют началом координат \(O\). Единичные отрезки на осях задают масштаб. Пара осей с началом координат и единичными отрезками образует прямоугольную декартову систему координат.

Оси делят плоскость на четыре координатные четверти. В I четверти \(x>0\), \(y>0\); во II — \(x<0\), \(y>0\); в III — \(x<0\), \(y<0\); в IV — \(x>0\), \(y<0\). Точка на оси имеет одну координату, равную нулю.

Для построения точки \(A(x;y)\) сначала откладывают абсциссу \(x\) на оси \(Ox\), затем проводят вертикаль, а от значения \(y\) на оси \(Oy\) — горизонталь. Их пересечение и есть точка \(A\).

2. Расстояние между точками и середина отрезка

Пусть заданы точки \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\). Разность абсцисс определяет горизонтальную составляющую отрезка, а разность ординат — вертикальную. По теореме Пифагора длина \(AB\) находится как гипотенуза прямоугольного треугольника.

Подстановка координат безопаснее всего выполняется в скобках: сначала находят \(x_2-x_1\) и \(y_2-y_1\), затем возводят разности в квадрат. Подробные задачи на эту формулу разобраны на странице расстоянии между точками, а общую связь длины отрезка и расстояния полезно повторить в теме о длине отрезка.

Для более сложных формулировок о середине и делении отрезка используйте страницы формулы координат середины и середины и деления отрезка на координатной плоскости.

3. Координатный способ решения геометрических задач

Координаты помогают проверять свойства фигур. Равенство отрезков проверяют по формуле расстояния, перпендикулярность — по прямому углу или угловым коэффициентам, а принадлежность точки объекту — подстановкой в его уравнение. При работе с направленными отрезками удобно использовать векторы на плоскости; операции с ними рассмотрены на странице действия с векторами.

4. Уравнение прямой на плоскости

Прямая задаётся уравнением, которому удовлетворяют координаты всех её точек. Основная форма уравнения — \(y=kx+b\), где \(k\) — угловой коэффициент, а \(b\) — ордината точки пересечения с осью \(Oy\).

Если известны две точки \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\), причём \(x_1\ne x_2\), то угловой коэффициент вычисляют так:

После нахождения \(k\) подставьте координаты одной точки в \(y=kx+b\), чтобы найти \(b\). Вертикальная прямая имеет вид \(x=c\) и не представляется формулой \(y=kx+b\). Подробнее см. уравнение прямой на плоскости.

5. Уравнение окружности

Окружность с центром \(C(a;b)\) и радиусом \(R\) состоит из всех точек \(P(x;y)\), расстояние от которых до центра равно \(R\). Поэтому уравнение окружности получается из формулы расстояния.

Если центр находится в начале координат, формула упрощается: \(x^2+y^2=R^2\). Подробные задачи находятся на странице уравнение окружности. При проверке принадлежности точки окружности подставьте её координаты в левую часть и сравните с \(R^2\).

6. Разобранный пример

Проверка: для точки \(A(5;1)\) левая часть равна \((5-2)^2+(1+3)^2=9+16=25\), значит точка действительно лежит на окружности.

7. Частые ошибки и проверка ответа

Симметрию точек относительно осей, начала координат и других объектов удобно изучать по правилам из симметрии на координатной плоскости. Расстояние от точки до прямой требует отдельной формулы и разобрано в задачах на расстояние от точки до прямой. Площадь фигуры по координатам изучается на странице площади фигуры по координатам.