Координатно-векторный метод
Координатно-векторный метод помогает решать планиметрические задачи без громоздких построений: точки задают координатами, отрезки — векторами, перпендикулярность — скалярным произведением, а прямые и окружности — уравнениями. Перед изучением темы повторите координаты на плоскости и векторы на плоскости.
1. Координаты точек и векторов
Точка на координатной плоскости записывается как \(A(x_A;y_A)\). Координаты вектора направлены от его начала к концу: если \(A(x_A;y_A)\) и \(B(x_B;y_B)\), то вектор \(\overrightarrow{AB}\) имеет координаты разности координат конца и начала.
Длина вектора равна длине соответствующего отрезка. Формула получается из теоремы Пифагора: приращения координат являются катетами прямоугольного треугольника.
Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов: \(M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)\). Подробный разбор есть на странице координаты середины отрезка.
Для деления отрезка в отношении удобно использовать формулу с весами. Если точка \(P\) делит \(AB\) так, что \(AP:PB=m:n\), то координаты \(P\) являются средневзвешенными координатами концов.
Если точка лежит между \(A\) и \(B\), каждая её координата должна находиться между соответствующими координатами концов, когда направление по этой координате не меняется.
2. Скалярное произведение и углы
Скалярное произведение двух векторов позволяет находить углы и проверять перпендикулярность. Для \(\vec a=(a_x;a_y)\) и \(\vec b=(b_x;b_y)\) оно вычисляется покоординатно.
Если \(\vec a\cdot\vec b=0\), то ненулевые векторы перпендикулярны. Знак произведения определяет угол: при остром угле произведение положительно, при прямом равно нулю, при тупом отрицательно.
Чтобы найти угол между сторонами треугольника, составьте векторы с общим началом. Например, угол \(\angle ABC\) — это угол между \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\), а не между векторами, направленными из разных точек.
Для угла между прямыми сначала найдите направляющие векторы этих прямых. Если \(\vec u\) и \(\vec v\) — такие векторы, то обычно берут меньший угол между прямыми, поэтому используют модуль косинуса.
Не путайте угол между лучами и угол между прямыми. Для лучей направление важно, а для прямых противоположные направляющие векторы задают ту же прямую, поэтому в формуле для прямых нужен модуль.
Какой признак доказывает, что два ненулевых вектора перпендикулярны?
3. Прямые, нормали и расстояния
Общее уравнение прямой имеет вид \(Ax+By+C=0\), где \(A\) и \(B\) не равны нулю одновременно. Вектор \((A;B)\) перпендикулярен прямой и называется её вектором нормали.
Вектор нормали — ненулевой вектор, перпендикулярный прямой. Для прямой \(Ax+By+C=0\) можно взять \(\vec n=(A;B)\), а направляющий вектор — \(\vec s=(-B;A)\) или \((B;-A)\).
Если известна точка \(A(x_0;y_0)\) и нормаль \(\vec n=(p;q)\), уравнение прямой записывают сразу: вектор от точки \(A\) к любой точке \((x;y)\) должен быть перпендикулярен нормали.
Расстояние от точки \(P(x_0;y_0)\) до прямой \(Ax+By+C=0\) находится подстановкой координат точки в левую часть и делением на длину нормали.
Для двух прямых \(A_1x+B_1y+C_1=0\) и \(A_2x+B_2y+C_2=0\) параллельность проверяется пропорциональностью коэффициентов при \(x\) и \(y\), а перпендикулярность — нулевым скалярным произведением нормалей.
Эти критерии связаны со страницами уравнение прямой на плоскости и параллельность прямых на координатной плоскости.
4. Площади и уравнения фигур
Площадь треугольника по координатам удобно находить через определитель. Знак зависит от порядка обхода вершин, поэтому для площади берут модуль.
В раскрытом виде формула выглядит так:
Площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec a=(a_x;a_y)\) и \(\vec b=(b_x;b_y)\), равна модулю их ориентированного произведения.
Площадь треугольника равна половине этой величины. Такой способ особенно удобен, если известны координаты трёх вершин или два вектора из одной вершины.
5. Разобранный пример
Даны точки \(A(1;1)\), \(B(5;2)\) и \(C(3;5)\). Найдём площадь треугольника \(ABC\) и определим, является ли угол \(B\) прямым.
1) Выпишите координаты точек. 2) Составьте нужные векторы как «конец минус начало». 3) Выберите критерий: длина, скалярное произведение, определитель или уравнение. 4) Проверьте знак, модуль и единицы площади.
Уравнение окружности с центром \(O(a;b)\) и радиусом \(R\) также переводит геометрическое условие в алгебру:
При задачах на касательные, хорды и вписанные углы координаты часто дополняют геометрические свойства окружности. Полезные соседние темы: свойства касательных к окружности, угол между касательной и хордой, задачи на вписанные углы и общая хорда двух окружностей.
Не забывайте модуль в формулах площади и расстояния. Не меняйте порядок координат: сначала \(x\), затем \(y\). При составлении вектора не перепутайте \(B-A\) с \(A-B\): это противоположные векторы, и знак скалярного произведения может изменить вывод об угле между лучами.
Быстрый тест
Проверьте себя
Главное
- Вектор между двумя точками получают вычитанием координат начала из координат конца, а его длину — по теореме Пифагора.
- Скалярное произведение находит косинус угла и проверяет перпендикулярность.
- Для прямой \(Ax+By+C=0\) вектор \((A;B)\) является нормалью, а расстояние до точки вычисляется через подстановку.
- Площадь треугольника находят через определитель, а площадь параллелограмма — через \(|a_xb_y-a_yb_x|\).
- Решение всегда начинайте с чертежа или списка известных координат и заканчивайте проверкой знаков, модулей и смысла ответа.