Вектор на плоскости
Вектор помогает описывать направленный отрезок: его можно переносить, складывать и умножать на число, не меняя математического смысла. В этом конспекте собраны координаты вектора, его длина и основные действия, необходимые для решения задач ege-2, ege-4 и ege-15.
Что такое вектор
Координатная плоскость позволяет задать положение точек числами. Вектор обозначают \(\overrightarrow{AB}\) или одной строчной буквой \(\vec a\). Вектор имеет начало, конец, направление и длину. Если начало и конец совпадают, вектор называется нулевым: \(\vec 0\).
Вектор \(\overrightarrow{AB}\) — это направленный отрезок, который показывает перемещение из точки \(A\) в точку \(B\). Два вектора равны, если у них одинаковы длина и направление, даже когда они расположены в разных местах плоскости.
Если \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), то отрезки \(AB\) и \(CD\) имеют одинаковую длину и параллельны, а направления совпадают. Это позволяет переносить вектор параллельно самому себе и выбирать удобное начало.
Координаты вектора и его длина
Пусть \(A(x_1,y_1)\) и \(B(x_2,y_2)\). Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) находят как координаты конца минус координаты начала: сначала вычитают абсциссы, затем ординаты.
Если \(\vec a=(a_x;a_y)\), то его длина равна корню из суммы квадратов координат. Это следствие теоремы Пифагора и одновременно формула расстояния между двумя точками.
Для нулевого вектора обе координаты равны нулю, поэтому его длина равна \(0\). Более подробно формула рассматривается на странице длине вектора, а связь с расстоянием — на странице расстоянии между координатными точками.
Нельзя записывать \(\overrightarrow{AB}=(x_1-x_2;y_1-y_2)\): это координаты вектора \(\overrightarrow{BA}\). Порядок букв определяет направление.
Сложение и умножение на число
Векторы складывают покоординатно. Геометрически действует правило треугольника: начало второго вектора совмещают с концом первого, а сумма соединяет начало первого с концом второго. Также используется правило параллелограмма.
При умножении вектора на число \(k\) каждая координата умножается на \(k\). Если \(k>0\), направление сохраняется; если \(k<0\), направление меняется на противоположное; длина умножается на \(|k|\).
Разность векторов определяется через сложение с противоположным вектором: \(\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)\). Поэтому координаты вычитают покоординатно.
Полный набор действий разобран на странице действиях с векторами. Если в задаче требуется представить вектор через направления осей, полезно разложение вектора по координатным осям.
Даны \(\vec a=(2;-3)\) и \(\vec b=(-1;5)\). Чему равен вектор \(2\vec a-\vec b\)?
Разобранный пример: координаты и длина
Даны точки \(A(-2;3)\), \(B(4;-1)\) и вектор \(\vec c=(1;2)\). Найдите координаты вектора \(\overrightarrow{AB}+2\vec c\) и его длину.
Ответ: координаты искомого вектора \((8;0)\), его длина \(8\). Нулевая вторая координата означает, что вектор горизонтален и направлен вправо, поскольку первая координата положительна.
Связь с геометрией и задачами
Координатный метод переводит геометрические условия в вычисления. Например, равенство векторов позволяет находить неизвестные координаты, а равенство длин — составлять уравнение с квадратными корнями. Для проверки, лежат ли векторы на одной прямой, используют коллинеарность векторов; для параллельности прямых — параллельность векторов.
Скалярное произведение помогает исследовать углы и перпендикулярность: оно равно нулю для ненулевых перпендикулярных векторов. Этому посвящена страница скалярном произведении векторов. При переходе к уравнениям прямых пригодится уравнение прямой на плоскости, а для проверки прямого угла — перпендикулярность прямых на координатной плоскости.
- Выписывайте координаты начала и конца отдельно, не смешивая их.
- После вычислений проверяйте знак и направление вектора.
- Для длины сначала упростите координаты, затем возводите их в квадрат.
- При умножении на отрицательное число меняется направление, но не формула координат.
Координаты вектора — конец минус начало; сумма и произведение на число выполняются покоординатно; длина — корень из суммы квадратов координат.
Быстрая проверка
Главное
- Вектор \(\overrightarrow{AB}\) имеет координаты \((x_B-x_A;y_B-y_A)\).
- Длина вектора \((a_x;a_y)\) равна \(\sqrt{a_x^2+a_y^2}\).
- Сумму, разность и умножение на число выполняют покоординатно.
- Знак множителя определяет направление, а его модуль — изменение длины.
- Координаты векторов связывают вычисления с геометрическими условиями: длинами, параллельностью и перпендикулярностью.