Задания № 23, 24 · ОГЭ

Действия с векторами

Сложение, вычитание и умножение вектора на число

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Действия с векторами позволяют складывать и вычитать направленные отрезки, а также изменять их длину и направление умножением на число. В координатах эти действия выполняются отдельно с каждой координатой.

Сложение векторов — операция, при которой к одному вектору последовательно присоединяют другой; результатом является вектор от начала первого до конца второго. Вычитание векторов заменяется сложением с противоположным вектором. Умножение вектора на число изменяет его длину в \(|k|\) раз: при \(k>0\) направление сохраняется, а при \(k<0\) меняется на противоположное.

Для работы с координатами удобно повторить материал страницы координатной плоскости. Если \(\overrightarrow{a}=(x_1;y_1)\) и \(\overrightarrow{b}=(x_2;y_2)\), то каждая операция выполняется покоординатно.

\[\vec a+\vec b=(x_1+x_2\,;\,y_1+y_2),\qquad \vec a-\vec b=(x_1-x_2\,;\,y_1-y_2),\qquad k\vec a=(kx_1\,;\,ky_1).\]

Геометрически сумму находят по правилу треугольника или параллелограмма. Противоположный вектор \(-\vec a\) имеет ту же длину, но противоположное направление, поэтому \(\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)\). Эти операции являются базовыми действиями с понятием вектора на плоскости.

№

Пример

Пусть \(\vec a=(3;-2)\) и \(\vec b=(-1;4)\). Тогда \(\vec a+\vec b=(3+(-1);-2+4)=(2;2)\), а \(2\vec a=(6;-4)\). Для разности получаем \(\vec a-\vec b=(3-(-1);-2-4)=(4;-6)\).

Не перепутайте

Координаты вектора не складывают с координатами точки как равноправные объекты. Если известны точки \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\), то координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) равны \((x_2-x_1;y_2-y_1)\): координаты конца минус координаты начала.

Проверьте себя

Чему равен вектор \(-3(2;-1)\)?

Главное за минуту

Главное

Сумму и разность векторов находят покоординатно.
При умножении на число обе координаты умножаются на это число.
Разность \(\vec a-\vec b\) — это сумма \(\vec a\) и противоположного вектора \(-\vec b\).