Проекция вектора на ось
Проекция вектора на ось — это число, показывающее, насколько вектор направлен вдоль этой оси. Её находят по длине вектора и углу с положительным направлением оси либо по координатам вектора.
Понятие используется вместе с векторами на плоскости и операциями из страницы действия с векторами. Обычно рассматривают координатные оси \(Ox\) и \(Oy\).
Формулы
Если вектор \(\vec{a}\) имеет длину \(|\vec{a}|\) и образует с положительным направлением оси угол \(\alpha\), то его проекция на эту ось равна:
Для вектора \(\vec{a}=(a_x,a_y)\) проекция на ось \(Ox\) равна \(a_x\), а на ось \(Oy\) — \(a_y\). То есть координаты вектора являются его проекциями на соответствующие координатные оси. При необходимости угол и длину можно связать со скалярным произведением векторов.
Пусть \(|\vec{a}|=6\), а угол между вектором и положительным направлением оси равен \(60^\circ\). Тогда проекция равна \(6\cos60^\circ=6\cdot\frac{1}{2}=3\). Если бы угол был \(120^\circ\), проекция была бы \(6\cos120^\circ=-3\).
Проекция — это число, а не вектор. Не следует также путать проекцию на ось с длиной вектора: длина всегда неотрицательна, а проекция может быть отрицательной.
Вектор имеет длину \(10\) и образует с положительным направлением оси угол \(90^\circ\). Чему равна его проекция на эту ось?
Главное
- Проекция вектора на ось — направленная числовая величина; она может быть положительной, отрицательной или нулевой.
- Основная формула: \(\operatorname{pr}_{l}\vec{a}=|\vec{a}|\cos\alpha\).
- Координаты \((a_x,a_y)\) — это проекции вектора на оси \(Ox\) и \(Oy\) соответственно.