Задания № 1, 15 · ЕГЭ

Разложение вектора по координатным осям

Как записать вектор через его координаты и единичные векторы
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Разложение вектора по координатным осям — это представление вектора как суммы двух составляющих: одной вдоль оси \(Ox\), другой вдоль оси \(Oy\). Эти составляющие записывают с помощью единичных векторов осей.

Разложение вектора по координатным осямСлово «разложение» означает представление целого объекта как суммы более простых составляющих.
Если \(\vec a\) — вектор на координатной плоскости, то его можно единственным образом представить в виде \(\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j\), где \(\vec i\) — единичный вектор положительного направления оси \(Ox\), \(\vec j\) — единичный вектор положительного направления оси \(Oy\), а числа \(a_x\) и \(a_y\) — координатные составляющие вектора. Они показывают, на сколько единиц вектор направлен вправо или влево и вверх или вниз.

Понятие опирается на действия с векторами и координаты на плоскости. Сам вектор и его направление рассматриваются в теме вектор на плоскости.

\[\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j=(a_x;a_y)\]1

Если вектор задан началом \(A(x_1;y_1)\) и концом \(B(x_2;y_2)\), то его координатные составляющие находят как разности координат конца и начала:

\[\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1)\vec i+(y_2-y_1)\vec j,\qquad \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1)\]
№
Пример

Пусть \(A(2;3)\) и \(B(6;1)\). Тогда \(\overrightarrow{AB}=(6-2;1-3)=(4;-2)\). Поэтому разложение имеет вид \(\overrightarrow{AB}=4\vec i-2\vec j\). Это означает: от точки \(A\) нужно переместиться на 4 единицы вправо и на 2 единицы вниз.

!
Не перепутайте

Координатная составляющая — это число со знаком, а единичный вектор \(\vec i\) или \(\vec j\) — направление и длина 1. Например, \(-3\vec j\) означает составляющую длины 3, направленную вниз, а не единичный вектор.

Проверьте себя

Каково разложение вектора с координатами \((-2;5)\) по единичным векторам осей?

Главное за минуту

Главное

  • Разложение вектора имеет вид \(\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j\).
  • Для \(\overrightarrow{AB}\) координаты равны \((x_2-x_1;y_2-y_1)\).
  • Знак составляющей показывает направление: плюс — по положительной полуоси, минус — по отрицательной.