Задачи на симметрию в координатах
Симметрия на координатной плоскости позволяет быстро находить координаты точки, отражённой относительно осей, начала координат или заданной прямой. Важно не только запомнить формулы, но и понимать, какая координата меняется, а какая сохраняется.
Базовые понятия симметрии
На координатной плоскости точка задаётся парой координат \(A(x;y)\). При отражении точки относительно прямой эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему исходную точку и её образ. Поэтому исходная точка и образ находятся на одинаковом расстоянии от оси симметрии.
Две точки \(A\) и \(A'\) симметричны относительно прямой \(l\), если прямая \(l\) перпендикулярна отрезку \(AA'\) и проходит через его середину. Прямая \(l\) называется осью симметрии.
При отражении относительно вертикальной прямой сохраняется горизонтальное положение точки, а при отражении относительно горизонтальной прямой — вертикальное. Иными словами, нужно внимательно определить, какая координата измеряет расстояние до оси.
Перед решением полезно повторить устройство координатной плоскости на странице координатной плоскости и основные свойства симметрии на странице симметрии на координатной плоскости.
Симметрия относительно осей координат
Ось \(Ox\) является горизонтальной, поэтому при отражении относительно неё абсцисса не меняется, а ордината меняет знак. Ось \(Oy\) является вертикальной, поэтому не меняется ордината, а абсцисса меняет знак.
| Ось симметрии | Координаты образа | Что происходит |
|---|---|---|
| \(Ox\) | \(A'(x;-y)\) | \(x\) сохраняется, знак \(y\) меняется |
| \(Oy\) | \(A'(-x;y)\) | \(y\) сохраняется, знак \(x\) меняется |
Точка \(B(-3;5)\) отражена относительно оси \(Oy\). Координата \(y\) остаётся равной \(5\), а знак координаты \(x\) меняется: \(B'(3;5)\).
Симметрия относительно начала координат
При центральной симметрии относительно начала координат \(O\) точка переходит в точку, расположенную на противоположном луче. Начало координат является серединой отрезка между точкой и её образом. Поэтому меняются знаки обеих координат.
Точки \(A(x_1;y_1)\) и \(A'(x_2;y_2)\) симметричны относительно начала координат тогда и только тогда, когда \(x_2=-x_1\) и \(y_2=-y_1\). Их середина имеет координаты \((0;0)\).
Например, образ точки \(C(4;-7)\) относительно начала координат — точка \(C'(-4;7)\). Если точка лежит в первой четверти, её образ окажется в третьей; из второй четверти точка перейдёт в четвёртую.
Каковы координаты точки, симметричной точке \(P(-6;-2)\) относительно начала координат?
Симметрия относительно прямых специального вида
Некоторые прямые позволяют применять формулы так же быстро, как оси координат. Для прямой \(y=x\) координаты при отражении меняются местами. Для прямой \(y=-x\) координаты меняются местами и одновременно меняют знаки.
Для вертикальной прямой \(x=a\) отражение изменяет абсциссу относительно числа \(a\), а ордината сохраняется. Расстояния от точек до прямой \(x=a\) равны, поэтому новая абсцисса находится как \(a-(x-a)=2a-x\).
Аналогично, для горизонтальной прямой \(y=b\) сохраняется \(x\), а новая ордината равна \(2b-y\).
Для прямой \(x=a\) меняется \(x\), потому что это вертикальная линия. Для прямой \(y=b\) меняется \(y\), потому что это горизонтальная линия. Удобно сначала нарисовать ось симметрии и проверить, в каком направлении измеряется расстояние до неё.
Разобранная задача
Точка \(A(3;-1)\) симметрична точке \(B\) относительно прямой \(x=5\). Найдите координаты точки \(B\) и её расстояние до оси \(Oy\).
Точка \(B\) имеет координаты \((7;-1)\), а её расстояние до оси \(Oy\) равно \(7\).
Если ось симметрии задана общей формулой \(ax+by+c=0\), прямое применение простых правил невозможно. В таких задачах обычно используют формулу отражения точки или сначала находят основание перпендикуляра к прямой. Задачи на расстояние от точки до прямой разобраны на странице расстояния от точки до прямой.
Для проверки результата можно использовать середину отрезка \(AA'\): она должна лежать на оси симметрии, а отрезок \(AA'\) должен быть перпендикулярен этой оси. Координаты середины удобно находить по правилам середины отрезка и деления отрезка.
Алгоритм и частые ошибки
- Определите ось или прямую симметрии.
- Установите, какая координата меняется, а какая сохраняется.
- Примените нужную формулу, не забывая о знаках.
- Проверьте середину исходной точки и образа.
1. При отражении относительно \(Ox\) меняют знак \(x\) вместо \(y\). 2. При отражении относительно \(Oy\) забывают изменить знак абсциссы. 3. Для прямой \(x=a\) записывают \(a-x\) вместо \(2a-x\): координата должна оказаться на таком же расстоянии по другую сторону прямой. 4. При симметрии относительно начала координат меняют знак только одной координаты. 5. Путают отражение относительно \(y=x\) с отражением относительно начала координат.
\(Ox:(x;y)\to(x;-y)\); \(Oy:(x;y)\to(-x;y)\); \(O:(x;y)\to(-x;-y)\); \(y=x:(x;y)\to(y;x)\); \(y=-x:(x;y)\to(-y;-x)\).
Быстрая проверка
Главное
- Относительно \(Ox\) меняется знак \(y\), а относительно \(Oy\) — знак \(x\).
- Относительно начала координат меняются знаки обеих координат.
- Для \(y=x\) координаты меняются местами; для \(y=-x\) меняются местами и знаки.
- Для \(x=a\) используйте \((x;y)\to(2a-x;y)\), для \(y=b\) — \((x;y)\to(x;2b-y)\).
- Результат можно проверить по середине отрезка и перпендикулярности к оси симметрии.