Угол между векторами
Угол между векторами — это меньший угол, который образуют их направления, если приложить векторы к одной точке. Его находят через скалярное произведение и длины векторов.
Формула
Сначала находят координаты векторов и их скалярное произведение. Координатные действия с векторами повторяются в статье Действия с векторами, а длину вектора можно вычислить по правилу из страницы Длина вектора.
Если \(\vec a=(a_1,a_2)\) и \(\vec b=(b_1,b_2)\), то \(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2\), \(|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\), \(|\vec b|=\sqrt{b_1^2+b_2^2}\). После этого по значению косинуса определяют угол.
Пусть \(\vec a=(1,0)\), \(\vec b=(1,\sqrt3)\). Тогда \(\vec a\cdot\vec b=1\), \(|\vec a|=1\), \(|\vec b|=2\). Поэтому \(\cos\alpha=\frac12\), значит, \(\alpha=60^\circ\).
Угол между двумя прямыми обычно выбирают как меньший из образованных углов, поэтому он лежит в пределах от \(0^\circ\) до \(90^\circ\). Направляющие векторы прямых могут задавать и дополнительный угол: если получился угол больше \(90^\circ\), для угла между прямыми берут \(180^\circ-\alpha\).
Какой угол образуют векторы \(\vec a=(1,0)\) и \(\vec b=(0,1)\)?
Главное
- Угол между ненулевыми векторами находят по формуле \(\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\).
- Скалярное произведение \(0\) означает перпендикулярность, положительное значение — острый угол, отрицательное — тупой.
- Для угла между прямыми выбирают меньший угол, не превышающий \(90^\circ\).