Параллельность векторов
Векторы на координатной плоскости параллельны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. По координатам это проверяют сравнением соответствующих координат: у параллельных ненулевых векторов они пропорциональны.
Критерий по координатам
Пусть даны ненулевые векторы \(\vec a=(a_1,a_2)\) и \(\vec b=(b_1,b_2)\). Они параллельны тогда и только тогда, когда существует такое число \(k\), что \(\vec b=k\vec a\). Иными словами, обе координаты одного вектора получаются умножением соответствующих координат другого на одно и то же число.
Эквивалентная запись, если знаменатели не равны нулю: \(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}\). Определитель удобнее, потому что он работает и тогда, когда одна из координат равна нулю.
Проверим векторы \(\vec a=(2,-3)\) и \(\vec b=(-4,6)\). Вычислим: \(2\cdot6-(-3)\cdot(-4)=12-12=0\). Значит, векторы параллельны. Кроме того, \(\vec b=-2\vec a\), поэтому они направлены противоположно.
Нулевой вектор \((0,0)\) обычно не относят к направленным векторам и не используют в критерии параллельности: у него нет определённого направления. Также параллельность векторов не означает их равенство: равные векторы имеют одинаковые координаты, а параллельные могут отличаться длиной и направлением.
Параллельны ли векторы \(\vec p=(3,4)\) и \(\vec q=(6,8)\)?
Главное
- Векторы \(\vec a=(a_1,a_2)\) и \(\vec b=(b_1,b_2)\) параллельны, если \(a_1b_2-a_2b_1=0\).
- Эквивалентно, один ненулевой вектор является числовым множителем другого: \(\vec b=k\vec a\).
- Множитель \(k>0\) означает сонаправленность, а \(k<0\) — противоположную направленность.