Коллинеарность векторов
Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Чтобы проверить коллинеарность, достаточно установить, является ли один вектор произведением другого на некоторое число.
Обозначают коллинеарность так: \(\vec a \parallel \vec b\). Для работы с координатами нужны знания о векторах на плоскости и правила действий с векторами.
Критерии коллинеарности
Векторы \(\vec a=(a_1,a_2)\) и \(\vec b=(b_1,b_2)\) коллинеарны, если существует число \(k\), такое что первый вектор равен произведению второго на \(k\). В координатах это означает пропорциональность соответствующих координат.
Если все координаты, участвующие в делении, ненулевые, можно проверить условие \(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}\). Однако определитель \(a_1b_2-a_2b_1=0\) надёжнее: он работает и тогда, когда одна из координат равна нулю.
Пусть \(\vec a=(6,-4)\) и \(\vec b=(-3,2)\). Имеем \(\vec a=-2\vec b\), значит, векторы коллинеарны и направлены противоположно. Тем же результатом является проверка: \(6\cdot2-(-4)\cdot(-3)=12-12=0\).
Связь с параллельностью
Направляющие векторы двух отрезков или прямых коллинеарны тогда и только тогда, когда эти отрезки или прямые параллельны либо совпадают. Поэтому в задачах на координатной плоскости сначала находят направляющие векторы, а затем применяют критерий выше. Подробнее о геометрическом смысле этого свойства см. в параллельных и перпендикулярных прямых.
Коллинеарность не означает равенство векторов. Векторы \((1,2)\) и \((3,6)\) коллинеарны, но не равны. Кроме того, перпендикулярность — другое свойство: для неё используют скалярное произведение, а не определитель координат.
Коллинеарны ли векторы \(\vec a=(2,5)\) и \(\vec b=(-4,-10)\)?
Главное
- Коллинеарные векторы направлены вдоль одной или параллельных прямых.
- Критерий в координатах: \(a_1b_2-a_2b_1=0\), или один вектор равен числовому множителю другого.
- Коллинеарность направляющих векторов означает параллельность или совпадение соответствующих прямых.