Нормальное уравнение прямой
Нормальное уравнение прямой записывает её через единичный вектор нормали и расстояние от начала координат до прямой. Такая запись удобна, когда важно сразу видеть направление перпендикуляра к прямой и её положение.
Формула
Единичный вектор нормали имеет длину \(1\): \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\). Поэтому коэффициенты при \(x\) и \(y\) в нормальном уравнении являются координатами единичной нормали.
Если прямая задана общим уравнением \(Ax+By+C=0\), сначала находят длину нормального вектора \((A,B)\): \(\sqrt{A^2+B^2}\). После деления уравнения на эту длину получают нормальный вид, выбирая знак так, чтобы правая часть была неотрицательной:
Прямая задана уравнением \(3x+4y=20\). Вектор нормали — \((3,4)\), его длина равна \(5\). Делим уравнение на \(5\): \(\frac35x+\frac45y=4\). Получаем нормальное уравнение, единичную нормаль \((\frac35,\frac45)\) и расстояние от начала координат \(p=4\).
Вектор нормали перпендикулярен прямой, а направляющий вектор параллелен ей. Например, для прямой \(3x+4y=20\) вектор \((3,4)\) — нормальный, а \((4,-3)\) — направляющий. Знак уравнения можно изменить целиком: тогда нормаль поменяет направление, но та же геометрическая прямая сохранится.
Каково расстояние от начала координат до прямой \(6x+8y=10\)?
Главное
- Нормальное уравнение имеет вид \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\).
- Коэффициенты при \(x\) и \(y\) образуют единичный вектор нормали.
- Для перехода от \(Ax+By+C=0\) нужно разделить всё уравнение на \(\sqrt{A^2+B^2}\) и при необходимости изменить знак.