Задания № 2, 4 · ЕГЭ

Вектор нормали

Перпендикулярный вектор для прямой и его применение в уравнениях
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Вектор нормали к прямой — это ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой. Он помогает записывать уравнение прямой и проверять [[parallel-and-perpendicular-lines:перпендикулярность прямых]].

Вектор нормалиСлово «нормаль» происходит от латинского слова, связанного с понятием прямого угла.
Вектор нормали к прямой — ненулевой вектор, перпендикулярный направлению этой прямой. Если прямая задана уравнением \(ax+by+c=0\), то вектор \(\vec n=(a,b)\) является её вектором нормали.

Чтобы понять смысл координат вектора нормали, вспомним [[vector-basics:вектор на плоскости]]. Если направляющий вектор прямой равен \(\vec v=(u,v)\), то вектор \(\vec n=(a,b)\) является нормалью тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: \(au+bv=0\).

Формула в уравнении прямой

\[ax+by+c=0,\qquad \vec n=(a,b)\]

Для прямой \(ax+by+c=0\) числа \(a\) и \(b\) образуют координаты вектора нормали. Коэффициент \(c\) влияет на положение прямой, но не меняет её направление. Если известна точка \(P(x_0,y_0)\) и нормаль \(\vec n=(a,b)\), уравнение прямой можно записать так:

\[a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\]
№
Пример

Для прямой \(3x-2y+5=0\) вектор нормали: \(\vec n=(3,-2)\). Направляющий вектор можно взять \(\vec v=(2,3)\): \(3\cdot2+(-2)\cdot3=0\). Значит, эти векторы перпендикулярны, а \(\vec v\) направлен вдоль прямой.

!
Не путайте

Вектор нормали не направлен вдоль прямой — он перпендикулярен ей. Для прямой \(ax+by+c=0\) направляющий вектор можно выбрать как \((-b,a)\), а нормаль имеет координаты \((a,b)\).

Проверь себя

Какой вектор является нормалью к прямой \(2x+5y-7=0\)?

Главное за минуту

Главное

  • Вектор нормали перпендикулярен прямой.
  • Для \(ax+by+c=0\) нормаль — \(\vec n=(a,b)\).
  • Направляющий вектор прямой перпендикулярен её нормали; например, можно взять \((-b,a)\).