Параллельность прямых на координатной плоскости
Параллельные прямые на координатной плоскости имеют одно направление и не пересекаются либо совпадают. Их параллельность можно проверить по угловым коэффициентам, направляющим векторам или нормальным векторам.
Критерии параллельности
В параллельных прямых направление можно сравнивать несколькими способами. Выбор критерия зависит от вида уравнений и известных данных.
Если прямые заданы уравнениями \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\), то они параллельны тогда и только тогда, когда \(k_1=k_2\). Если при этом \(b_1=b_2\), прямые совпадают; если \(b_1\ne b_2\), они различные и параллельные.
Для вертикальных прямых вида \(x=c\) угловой коэффициент не определён. Поэтому любые две вертикальные прямые параллельны, а вертикальная и невертикальная прямые не параллельны.
Пусть \(\vec a=(a_1,a_2)\) и \(\vec b=(b_1,b_2)\) — коллинеарные направляющие векторы двух прямых. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны: \(a_1b_2-a_2b_1=0\).
Если прямые заданы общими уравнениями \(A_1x+B_1y+C_1=0\) и \(A_2x+B_2y+C_2=0\), то их нормальные векторы \((A_1,B_1)\) и \((A_2,B_2)\) должны быть коллинеарны: \(A_1B_2-A_2B_1=0\).
Прямые \(y=3x-1\) и \(y=3x+5\) параллельны: их угловые коэффициенты одинаковы, \(k_1=k_2=3\), а свободные члены различны. Значит, прямые не совпадают.
Равенство угловых коэффициентов ещё не означает, что прямые различны. При одинаковых \(k\) и \(b\) это одна и та же прямая. Кроме того, одинаковые свободные члены без равенства угловых коэффициентов не дают параллельность.
Параллельны ли прямые \(2x-y+1=0\) и \(4x-2y+7=0\)?
Главное
- Для графиков \(y=kx+b\) параллельность означает равенство угловых коэффициентов.
- Для направляющих или нормальных векторов нужно проверить их коллинеарность.
- При одинаковых коэффициентах и свободных членах прямые совпадают, а не являются различными параллельными прямыми.