Уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой — это равенство с переменными \(x\) и \(y\), которому удовлетворяют координаты всех точек этой прямой и только этих точек. На координатной плоскости одну и ту же прямую можно записать в канонической, общей или угловой форме.
Основные формы уравнения
Каноническое уравнение задаётся точкой \(M_0(x_0,y_0)\), лежащей на прямой, и её направляющим вектором \((a,b)\), где \(a\) и \(b\) не равны нулю одновременно:
Если одна из координат направляющего вектора равна нулю, соответствующую дробь не используют. Например, при вертикальной прямой \(a=0\) записывают \(x=x_0\).
Общее уравнение имеет вид:
Здесь \(A\), \(B\) и \(C\) — числа, причём \(A\) и \(B\) не равны нулю одновременно. Такая форма удобна для проверки принадлежности точки и решения задач на пересечение прямых.
Угловое уравнение записывают так:
Число \(k\) — угловой коэффициент прямой, а \(b\) — ордината точки пересечения прямой с осью \(Oy\). Угловая форма не подходит для вертикальных прямых: у них угловой коэффициент не определён.
Прямая проходит через точку \(M_0(2,1)\) и имеет направляющий вектор \((3,-2)\). Её каноническое уравнение: \(\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-2}\). После преобразования получаем общее уравнение \(2x+3y-7=0\), а затем угловое уравнение \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\).
Уравнение прямой и уравнение отрезка — не одно и то же. Уравнение прямой задаёт бесконечную линию, а отрезок ограничен двумя точками. Кроме того, запись \(y=kx+b\) описывает не всякую прямую: вертикальная прямая задаётся уравнением \(x=c\).
Какая форма уравнения подходит для вертикальной прямой \(x=4\)?
Главное
- Общее уравнение прямой: \(Ax+By+C=0\).
- Каноническая форма использует точку и направляющий вектор, а угловая — коэффициенты \(k\) и \(b\).
- Вертикальную прямую записывают как \(x=c\); форма \(y=kx+b\) для неё не применяется.