Точка пересечения прямых по координатам
Точка пересечения двух прямых имеет координаты, которые одновременно удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Поэтому её находят как решение системы из этих уравнений: достаточно выразить одну переменную через другую, подставить и затем выполнить проверку.
Что означает точка пересечения
На координатной плоскости каждая прямая задаётся уравнением. Смысл уравнения таков: ему удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой прямой. Например, точка \((2; 3)\) лежит на прямой \(y=2x-1\), потому что \(3=2\cdot2-1\).
Точка пересечения двух прямых — это точка, принадлежащая одновременно обеим прямым. Её координаты \((x_0;y_0)\) являются общим решением уравнений этих прямых.
Таким образом, задача сводится к решению системы линейных уравнений. Если прямые пересекаются в одной точке, система имеет единственное решение. Если прямые параллельны, общей точки нет. Если уравнения задают одну и ту же прямую, общих точек бесконечно много.
Перед решением полезно повторить координаты на плоскости и общий вид уравнения прямой из страницы уравнение прямой на плоскости. Если прямая записана через угловой коэффициент, пригодится угловой коэффициент прямой.
Основной алгоритм
Пусть прямые заданы уравнениями \(a_1x+b_1y=c_1\) и \(a_2x+b_2y=c_2\). Координаты точки пересечения находят так:
- Привести оба уравнения к удобному виду: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, при необходимости выразить \(y\) или \(x\).
- Составить систему из двух уравнений.
- Решить систему методом подстановки, сложения или вычитания.
- Записать найденные значения как координаты точки: \(P(x_0;y_0)\).
- Подставить обе координаты в каждое исходное уравнение и проверить равенства.
Две прямые имеют единственную точку пересечения, если их коэффициенты при \(x\) и \(y\) не пропорциональны: \(a_1b_2-a_2b_1\ne0\). В этом случае система имеет единственное решение.
Если прямые записаны в виде \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\), то они пересекаются в одной точке при \(k_1\ne k_2\). При \(k_1=k_2\) они параллельны или совпадают.
Решение системы — это не только значение \(x\). Координаты точки пересечения образует пара \((x;y)\), поэтому после нахождения одной переменной обязательно найдите вторую.
Способы решения системы
Метод подстановки удобен, когда одно из уравнений уже имеет вид \(y=...\) или \(x=...\). Выражение подставляют во второе уравнение, находят одну переменную, а затем возвращаются к первому уравнению.
Метод сложения удобен, когда после умножения уравнений на подходящие числа коэффициенты одной переменной становятся противоположными. При сложении эта переменная исчезает.
Если обе прямые имеют вид \(y=kx+b\), можно приравнять правые части:
После нахождения \(x\) подставьте его в любое из уравнений и получите \(y\). Такой способ особенно быстр в заданиях, где уравнения уже записаны в явном виде.
Какой объект нужно решить, чтобы найти координаты общей точки двух прямых?
Разобранный пример
Найдём координаты точки пересечения прямых \(2x+y=7\) и \(x-y=2\).
Оба равенства верны, значит, точка \(P(3;1)\) действительно лежит на каждой из двух прямых. Ответ: \((3;1)\).
Особые случаи и проверка
Иногда при решении системы получается противоречие, например \(0=5\). Это означает, что прямые параллельны и не пересекаются. Если получается тождество \(0=0\), оба уравнения задают одну и ту же прямую, поэтому точек пересечения бесконечно много.
| Результат при упрощении | Геометрический смысл | Количество общих точек |
|---|---|---|
| Единственное значение \(x\) и затем \(y\) | Прямые пересекаются | 1 |
| Противоречие, например \(0=5\) | Прямые параллельны | 0 |
| Тождество, например \(0=0\) | Прямые совпадают | Бесконечно много |
1. Потеря знака при переносе слагаемого через знак равенства: знак меняется. 2. Неправильная запись точки: координаты пишутся в порядке \((x;y)\), а не \((y;x)\). 3. Проверка только в одном уравнении не исключает ошибку во втором. 4. Если дробь получилась отрицательной, это не повод менять знак без вычислений. 5. Нельзя приравнивать коэффициенты \(x\) и \(y\) вместо решения системы.
Проверка особенно важна в экзаменационных заданиях. Подставляйте найденную пару в исходные, а не преобразованные уравнения: так можно обнаружить ошибку в раскрытии скобок или переносе членов.
Как читать ответ на координатной плоскости
После нахождения точки можно оценить результат геометрически. Если у прямых разные угловые коэффициенты, они должны пересекаться. Если одна прямая возрастает, а другая убывает, точка пересечения обычно хорошо видна при схематичном чертеже. Однако рисунок служит только проверкой: точные координаты получают вычислением.
Если точка задана двумя известными точками, иногда сначала находят уравнение прямой. Для проверки расстояний между точками можно использовать материал о длине вектора, а при работе с параллельными направлениями — страницу о параллельности векторов. В задачах с треугольниками найденная точка может быть связана с серединой отрезка по координатам.
Если коэффициенты при одной переменной противоположны, сразу складывайте уравнения. Если одна переменная уже выражена, используйте подстановку. Выбирайте способ, который требует меньше преобразований и снижает вероятность ошибки.
Мини-тест
Проверь себя
Главное
- Координаты точки пересечения — общее решение системы уравнений двух прямых.
- Для нахождения точки составьте систему и решите её подстановкой, сложением или приравниванием правых частей.
- После решения запишите ответ в виде \(P(x;y)\) и проверьте обе координаты в обоих исходных уравнениях.
- Противоречие означает параллельные прямые, а тождество — совпадающие прямые.
- Если коэффициенты направлений различны, прямые пересекаются в единственной точке.