Угловой коэффициент прямой
Угловой коэффициент прямой показывает, насколько изменяется координата \(y\) при увеличении координаты \(x\) на единицу. По нему можно определить наклон прямой, сравнить направления двух прямых и найти угол между прямыми.
Как найти коэффициент по двум точкам
Пусть прямая проходит через точки \(A(x_1,y_1)\) и \(B(x_2,y_2)\), причём \(x_1\ne x_2\). Тогда угловой коэффициент находят по формуле:
В числителе стоит изменение координаты \(y\), а в знаменателе — изменение координаты \(x\). Поэтому порядок вычитания должен быть одинаковым: если взять \(y_2-y_1\), нужно взять и \(x_2-x_1\).
Для точек \(A(1;2)\) и \(B(4;8)\) получаем \(k=\frac{8-2}{4-1}=\frac{6}{3}=2\). При увеличении \(x\) на 1 значение \(y\) увеличивается на 2. Прямая возрастает.
Связь с уравнением и углом наклона
В уравнении \(y=kx+b\) коэффициент \(k\) определяет наклон прямой, а \(b\) — координату точки пересечения с осью \(Oy\). Если \(k>0\), прямая возрастает; если \(k<0\), убывает; если \(k=0\), она горизонтальна. Вертикальная прямая имеет уравнение \(x=c\) и не имеет конечного углового коэффициента.
Если угол наклона прямой к положительному направлению оси \(Ox\) равен \(\alpha\), то \(k=\tan\alpha\). Для двух непрямых вертикальных прямых с коэффициентами \(k_1\) и \(k_2\) угол \(\varphi\) между ними можно найти так:
Угловой коэффициент — не то же самое, что длина отрезка или расстояние между точками. Расстояние находят по формуле из страницы расстояние между точками, а коэффициент показывает направление и крутизну прямой.
Каков угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \((2;5)\) и \((6;13)\)?
Главное
- Для двух точек \(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) при \(x_1\ne x_2\).
- В уравнении \(y=kx+b\) коэффициент \(k\) задаёт наклон прямой.
- Для вертикальной прямой \(x=c\) угловой коэффициент не определён; связь с уравнением прямой рассматривается также на странице уравнение прямой на плоскости.