Задания № 2, 11 · ЕГЭ

Длина вектора

Как найти модуль вектора по его координатам и применить формулу в задачах
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Длина вектора — это расстояние между его началом и концом. На координатной плоскости её находят по теореме Пифагора: если координаты вектора известны, достаточно возвести их в квадрат, сложить и извлечь квадратный корень.

Длина вектора
Длиной вектора \(\vec a\) называют неотрицательное число, равное расстоянию между началом и концом этого вектора. Длину вектора также называют его модулем и обозначают \(|\vec a|\). Нулевой вектор имеет длину \(0\).

В векторе на плоскости координаты показывают, на сколько единиц нужно переместиться по горизонтали и вертикали. Поэтому длина вектора связана с расстоянием между точками на координатной плоскости и вычисляется аналогично.

Формула длины вектора

Если \(\vec a=(x;y)\), то его координаты являются катетами прямоугольного треугольника, а длина вектора — гипотенузой. Если вектор задан началом \(A(x_1;y_1)\) и концом \(B(x_2;y_2)\), сначала находят его координаты: \(\vec{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1)\).

\[|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}\]1
\[|\vec{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]2
№
Пример

Найдём длину вектора \(\vec a=(3;-4)\). По формуле получаем \(|\vec a|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5\). Знак минус у второй координаты не влияет на результат, потому что координата возводится в квадрат.

!
Не путайте

Координаты вектора могут быть отрицательными, а его длина — нет. Например, векторы \((3;4)\) и \((-3;-4)\) имеют разные направления, но одинаковую длину \(5\). Длина — это число, поэтому записывают \(|\vec a|\ge 0\).

Проверьте себя

Чему равна длина вектора \(\vec b=(-5;12)\)?

Главное за минуту

Главное

  • Длина вектора — это его модуль, то есть расстояние между началом и концом.
  • Для \(\vec a=(x;y)\) используется формула \(|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}\).
  • Для вектора \(\vec{AB}\) сначала находят разности координат концов, затем применяют формулу расстояния.