Задачи на середину отрезка по координатам
Середина отрезка на координатной плоскости находится усреднением координат его концов. Этот приём помогает быстро решать задачи на построение, симметрию и расстояния, в том числе задания экзаменов ege-2, ege-11 и oge-24.
Координаты середины отрезка
Пусть даны точки \(A(x_1,y_1)\) и \(B(x_2,y_2)\). Середина отрезка \(AB\) — это точка \(M\), которая лежит на отрезке и делит его на две равные части: \(AM=MB\). Для работы удобно сначала повторить правила координат на плоскости: первая координата задаёт положение по горизонтали, вторая — по вертикали.
Середина отрезка — точка отрезка, равноудалённая от его концов. Если \(M\) — середина \(AB\), то \(AM=MB\).
Чтобы найти координаты середины, отдельно складывают абсциссы концов и делят сумму на 2, затем так же поступают с ординатами. Нельзя складывать абсциссу одного конца с ординатой другого.
Формула работает для любых точек: координаты могут быть положительными, отрицательными или нулевыми. Если один из концов имеет дробные координаты, вычисления выполняются так же.
Почему формула верна
По горизонтали середина должна находиться ровно между числами \(x_1\) и \(x_2\). Среднее арифметическое двух чисел и есть такое число. Аналогично по вертикали середина находится между \(y_1\) и \(y_2\).
Даны точки \(A(-4,7)\) и \(B(6,-1)\). Найдём координаты точки \(M\).
Построение и обратные задачи
Чтобы построить середину отрезка на координатной плоскости, отметьте концы \(A\) и \(B\), вычислите координаты \(M\) по формуле и нанесите точку с найденными координатами. Затем можно соединить точки и проверить, что \(M\) лежит на отрезке.
- Считайте координаты концов отрезка.
- Найдите среднее арифметическое абсцисс.
- Найдите среднее арифметическое ординат.
- Отметьте полученную точку на плоскости.
- При необходимости проверьте равенство расстояний \(AM\) и \(MB\).
В обратной задаче известны середина \(M(a,b)\) и один конец, например \(A(x_1,y_1)\), а второй конец \(B(x_2,y_2)\) неизвестен. Из формулы середины получаем:
Если \(M(a,b)\) — середина \(AB\), а \(A(x_1,y_1)\) известна, то второй конец имеет координаты \(B(2a-x_1,2b-y_1)\). Это также формула центральной симметрии относительно точки \(M\).
Точка \(M(2,-1)\) — середина отрезка \(AB\), причём \(A(-3,4)\). Каковы координаты точки \(B\)?
Симметрия на координатной плоскости
Задачи на середину часто формулируются через симметрию. При центральной симметрии точка \(B\) является образом точки \(A\) относительно центра \(M\), если \(M\) — середина \(AB\). Для симметрии относительно начала координат центр равен \(O(0,0)\), поэтому каждой точке \(A(x,y)\) соответствует точка \(B(-x,-y)\).
При симметрии относительно оси \(Ox\) меняется знак ординаты, а абсцисса сохраняется. При симметрии относительно оси \(Oy\) сохраняется ордината и меняется знак абсциссы.
| Центр или ось симметрии | Образ точки \(A(x,y)\) |
|---|---|
| Начало координат \(O\) | \((-x,-y)\) |
| Ось \(Ox\) | \((x,-y)\) |
| Ось \(Oy\) | \((-x,y)\) |
| Точка \(M(a,b)\) | \((2a-x,2b-y)\) |
Для проверки координат симметричной точки можно найти середину исходной точки и её образ. Если центр найден правильно, эта середина должна совпасть с заданным центром. В задачах с геометрическими фигурами достаточно преобразовать координаты всех вершин, а затем соединить полученные точки в том же порядке.
Разобранная задача экзаменационного уровня
Точка \(M(3,2)\) — середина отрезка \(AB\). Известно, что \(A(-5,6)\). Найдите длину отрезка \(AB\).
Показать решение Решение
Сначала найдём неизвестный конец \(B\) по обратной формуле.
Теперь найдём длину отрезка по формуле расстояния между двумя точками, которая связана с длиной вектора.
Ответ: \(8\sqrt{5}\).
Проверка решения и частые ошибки
1. Делят на 2 только одну координату. Делить нужно обе суммы. 2. Путают знаки при отрицательных координатах: \(y_2-y_1\) и \(y_1-y_2\) дают разные числа, хотя после возведения в квадрат ошибка в длине может скрыться. 3. Называют любую точку на отрезке серединой, не проверив равенство частей. 4. При симметрии относительно оси меняют знаки обеих координат — это верно только для симметрии относительно начала координат. 5. Соединяют вершины симметричной фигуры в неправильном порядке.
У середины каждой координаты значение находится между соответствующими координатами концов, если смотреть на обычные числа. Например, середина чисел \(-4\) и \(6\) равна \(1\), а не \(5\) и не \(-1\).
Проверь себя
Главное
- Середина отрезка с концами \(A(x_1,y_1)\) и \(B(x_2,y_2)\) имеет координаты \(M((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)\).
- В обратной задаче второй конец находится по формулам \(x_2=2a-x_1\), \(y_2=2b-y_1\).
- Центральная симметрия относительно начала координат меняет \((x,y)\) на \((-x,-y)\).
- При симметрии относительно \(Ox\) меняется знак \(y\), а относительно \(Oy\) — знак \(x\).
- Решение полезно проверять построением и равенством расстояний до концов.