Перпендикулярность прямых на координатной плоскости
Две прямые на координатной плоскости перпендикулярны, если пересекаются под прямым углом. Это можно проверить по их угловым коэффициентам или по скалярному произведению направляющих векторов.
Критерий через коэффициенты
Если прямые заданы уравнениями \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\), то они перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно \(-1\).
Этот критерий применим, если обе прямые не вертикальные. Вертикальная прямая перпендикулярна горизонтальной: у горизонтальной прямой угловой коэффициент равен \(0\), а у вертикальной он не определяется.
Критерий через направляющие векторы
Пусть направляющие векторы двух прямых имеют координаты \(\vec a=(a_1,a_2)\) и \(\vec b=(b_1,b_2)\). Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю.
Прямые имеют угловые коэффициенты \(k_1=2\) и \(k_2=-\frac{1}{2}\). Проверим: \(k_1\cdot k_2=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\). Следовательно, прямые перпендикулярны. В векторной форме это можно проверить для направляющих векторов \(\vec a=(1,2)\) и \(\vec b=(2,-1)\): \(\vec a\cdot\vec b=1\cdot2+2\cdot(-1)=0\).
Для перпендикулярных прямых произведение угловых коэффициентов равно \(-1\), а для параллельных прямых угловые коэффициенты равны: \(k_1=k_2\). Нулевое скалярное произведение направляющих векторов означает перпендикулярность, а не параллельность.
Перпендикулярны ли прямые с угловыми коэффициентами \(k_1=3\) и \(k_2=-\frac{1}{3}\)?
Главное
- Для прямых \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\) перпендикулярность означает \(k_1\cdot k_2=-1\).
- Для направляющих векторов условие имеет вид \(a_1b_1+a_2b_2=0\).
- Горизонтальная и вертикальная прямые также перпендикулярны, хотя угловой коэффициент вертикальной прямой не определяется.