Задания № 2, 4 · ЕГЭ

Угол между прямыми

Как найти угол между двумя прямыми по их направляющим или нормальным векторам
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Угол между прямыми — это меньший из углов, образованных при их пересечении. Его можно вычислить по направляющим векторам прямых или по их нормальным векторам.

Угол между прямыми
Углом между двумя прямыми называют величину меньшего угла между ними: \(0^\circ\leq\varphi\leq90^\circ\). Если прямые параллельны, угол между ними равен \(0^\circ\), а если перпендикулярны — \(90^\circ\). Для вычислений используют векторы направлений прямых или векторы, перпендикулярные им — векторы нормали.

Формулы

Пусть \(\vec a=(a_1,a_2)\) и \(\vec b=(b_1,b_2)\) — направляющие векторы двух прямых. Тогда угол между прямыми находят из формулы с модулем: знак не важен, потому что выбирается меньший угол.

\[\cos\varphi=\frac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec a|\cdot|\vec b|}=\frac{|a_1b_1+a_2b_2|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}\]

Здесь скалярное произведение векторов равно \(a_1b_1+a_2b_2\), а длина вектора вычисляется по теореме Пифагора. Если прямые заданы уравнениями \(A_1x+B_1y+C_1=0\) и \(A_2x+B_2y+C_2=0\), то \((A_1,B_1)\) и \((A_2,B_2)\) — их нормальные векторы, поэтому используется та же формула:

\[\cos\varphi=\frac{|A_1A_2+B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}\]
№
Пример

Для направляющих векторов \(\vec a=(1,1)\) и \(\vec b=(1,0)\) имеем \(\vec a\cdot\vec b=1\), \(|\vec a|=\sqrt2\), \(|\vec b|=1\). Поэтому \(\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt2}\) и \(\varphi=45^\circ\).

!
Не перепутайте

Направляющий вектор лежит на прямой, а нормальный вектор перпендикулярен ей. Нельзя подставлять в формулу компоненты одного вида вектора, считая их другим видом. Модуль в числителе обязателен: без него можно получить тупой угол, а нужен меньший.

Проверьте себя

Каков угол между прямыми с направляющими векторами \((1,0)\) и \((0,1)\)?

Главное за минуту

Главное

  • Угол между прямыми — меньший угол от \(0^\circ\) до \(90^\circ\).
  • Его косинус находят через скалярное произведение направляющих или нормальных векторов.
  • Модуль в числителе формулы позволяет получить именно меньший угол.