Центроид
Центроид треугольника — это точка пересечения его трёх медиан. Она делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины, и является центром тяжести однородной треугольной пластины.
Координаты центроида
Чтобы найти координаты центроида на координатной плоскости, достаточно усреднить координаты трёх вершин. Пусть \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\) и \(C(x_3,y_3)\). Тогда координаты точки \(G\) равны средним арифметическим соответствующих координат.
Это свойство позволяет не строить все медианы на чертеже. Однако понимание самой медианы треугольника помогает объяснить геометрический смысл формулы: каждая медиана проходит через точку \(G\).
Три медианы любого треугольника пересекаются в одной точке — центроиде. Центроид делит каждую медиану в отношении \(2:1\): большая часть находится между вершиной и центроидом.
Даны вершины \(A(1,2)\), \(B(7,2)\) и \(C(4,8)\). Тогда \(x_G=\frac{1+7+4}{3}=4\), а \(y_G=\frac{2+2+8}{3}=4\). Значит, центроид имеет координаты \(G(4,4)\). Для проверки можно провести медиану из \(C\) к середине отрезка \(AB\): середина имеет координаты \((4,2)\), и точка \(G(4,4)\) лежит на этом отрезке.
Центроид — не то же самое, что центр описанной или вписанной окружности. Эти точки совпадают только в отдельных специальных треугольниках, например в равностороннем.
Вершины треугольника имеют координаты \((0,0)\), \((6,0)\) и \((0,3)\). Каковы координаты центроида?
Коротко
- Центроид — точка пересечения трёх медиан треугольника.
- Его координаты получают усреднением координат трёх вершин.
- Каждую медиану центроид делит в отношении \(2:1\) от вершины.