Геометрические построения
Геометрические построения — это точное построение фигур с помощью только линейки без делений и циркуля. В теме важно не только знать последовательность действий, но и уметь объяснить, почему построенная точка или прямая обладает нужным свойством.
Основные инструменты и правила
Линейка позволяет провести прямую через две заданные точки. Линейка без делений не измеряет длину: её используют только для проведения прямых. Циркуль позволяет проводить окружности с центром в заданной точке и радиусом, равным заданному отрезку, а также переносить длины.
Построение — это последовательность действий, в которой используют допустимые инструменты и получают нужную фигуру или точку. Каждое действие должно быть обосновано: например, точка принадлежит окружности, потому что расстояние от её центра до точки равно радиусу.
При построениях полезно различать три части решения: анализ — какие свойства должна иметь искомая фигура; построение — последовательность действий; доказательство — объяснение, почему результат верен. Иногда добавляют исследование: всегда ли построение возможно и единственно ли решение.
Через любые две различные точки можно провести единственную прямую. Поэтому для построения прямой достаточно построить или указать две её точки.
Перед началом работы вспомните основные геометрические фигуры и различия между точкой, прямой, отрезком и лучом из страницы «Точка, прямая, отрезок и луч».
Построение отрезков и углов
Чтобы построить отрезок заданной длины на луче с началом \(A\), циркулем берут радиус, равный заданной длине, и проводят окружность с центром \(A\). Точка пересечения окружности с лучом обозначается \(B\); тогда \(AB\) имеет требуемую длину. Подробный алгоритм приведён на странице построения отрезка заданной длины.
Угол можно перенести без измерения его величины. Пусть дан угол \(ABC\) и требуется построить равный ему угол с вершиной \(O\). Из центра \(B\) проводят дугу, пересекающую стороны угла в точках \(M\) и \(N\). Тем же радиусом проводят дугу с центром \(O\). Затем циркулем переносят на неё хорду \(MN\): из точки пересечения дуги с первым лучом откладывают длину \(MN\). Луч через полученную точку образует с первым лучом угол, равный исходному.
Если две дуги, проведённые из вершин углов одинаковыми радиусами, отсекают хорды одинаковой длины, то соответствующие углы равны: равные радиусы и равные хорды стягивают равные центральные углы.
Биссектриса угла строится так: из вершины проводят дугу, пересекающую стороны угла; из двух полученных точек одинаковыми радиусами проводят дуги до пересечения внутри угла; вершину соединяют с точкой пересечения дуг. Полученный луч делит угол на две равные части.
Перпендикуляр к прямой
Перпендикуляр к прямой — это прямая, образующая с данной прямой угол \(90^\circ\). Алгоритм зависит от положения заданной точки.
- Если точка \(P\) лежит на прямой \(l\), циркулем с центром \(P\) проводят дугу, пересекающую \(l\) в точках \(A\) и \(B\). Из центров \(A\) и \(B\) одинаковым радиусом проводят дуги по одну сторону от \(l\) до пересечения в точке \(Q\). Прямая \(PQ\) перпендикулярна \(l\).
- Если точка \(P\) не лежит на прямой \(l\), проводят окружность с центром \(P\), пересекающую \(l\) в точках \(A\) и \(B\). Из центров \(A\) и \(B\) одинаковым радиусом проводят дуги до пересечения в точке \(Q\). Прямая \(PQ\) и есть искомый перпендикуляр.
Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку \(AB\) равноудалена от его концов: \(PA=PB\). Обратно: если \(PA=PB\), то точка \(P\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AB\).
В построении выше точки \(Q\) и исходная точка \(P\) равноудалены от \(A\) и \(B\). Значит, обе лежат на серединном перпендикуляре к \(AB\), поэтому прямая \(PQ\) является этим перпендикуляром. Это связано с геометрическими местами точек, рассмотренными на странице геометрических мест точек.
Почему при построении перпендикуляра дуги из точек A и B проводят одинаковым радиусом?
Параллельные прямые
Для построения параллельной прямой через точку \(P\), не лежащую на прямой \(l\), можно сначала построить перпендикуляр к \(l\) через \(P\), а затем перпендикуляр к полученной прямой через \(P\). Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Поэтому последовательное построение двух перпендикуляров даёт параллельную прямую.
Другой способ — перенести заданный угол: построить через \(P\) угол, равный углу между прямой \(l\) и вспомогательной секущей. При равенстве соответствующих углов полученные прямые параллельны.
Разобранный пример: построение параллельной прямой
Построить через точку \(P\), не лежащую на прямой \(l\), прямую, параллельную \(l\).
- С помощью циркуля и линейки построить через \(P\) прямую \(p\), перпендикулярную \(l\).
- На странице построения перпендикуляра применить тот же алгоритм: построить через \(P\) прямую \(q\), перпендикулярную \(p\).
- Поскольку \(l\) и \(q\) перпендикулярны одной прямой \(p\), заключить, что \(q\parallel l\).
Не следует проводить параллельную прямую «на глаз» или считать, что равные отрезки автоматически дают параллельность. В доказательстве обязательно укажите общий перпендикуляр или равенство соответствующих углов. При построении перпендикуляра дуги из двух точек должны иметь одинаковый радиус, а их пересечение должно быть выбрано так, чтобы оно не совпало с точкой на исходной прямой.
Перенос длины и деление отрезка
Циркуль переносит расстояние без измерительной шкалы. Это позволяет откладывать равные отрезки, строить равносторонний треугольник и находить середину отрезка. Для середины \(AB\) проводят из \(A\) и \(B\) дуги одинакового радиуса, большего половины \(AB\), и соединяют точки их пересечения. Полученная прямая — серединный перпендикуляр, а её пересечение с \(AB\) — середина отрезка.
При переносе длины важно не менять раствор циркуля. Если радиус изменить между двумя операциями, равенство построенных отрезков не будет доказано.
Записывайте построение кратко, но последовательно: что проводите, где пересекаются окружности или прямые, какие равенства получаете и какой признак применяете. В чертеже обозначайте все новые точки, использованные в доказательстве.
Проверь себя
Главное
- Линейкой без делений проводят прямые, а циркулем проводят окружности и переносят длины.
- Биссектрису строят пересечением дуг, проведённых из точек на сторонах угла.
- Перпендикуляр строят через точку на основе равенства расстояний до двух точек исходной прямой.
- Параллель через точку можно получить двумя последовательными перпендикулярами.
- В решении нужны три элемента: последовательность построения, доказательство и, при необходимости, условие существования.