Геометрические места точек, равноудаленных от объектов
Геометрическое место точек (ГМТ) — это фигура, состоящая из всех точек, обладающих заданным свойством. В этой теме рассматриваются три важных случая: точки, равноудалённые от концов отрезка, от сторон угла и от одной точки.
Основная идея геометрического места
Чтобы найти ГМТ, удобно действовать в два этапа: сначала доказать, что любая точка искомой фигуры обладает нужным свойством, а затем — что любая точка с этим свойством лежит на найденной фигуре. Такое доказательство называют доказательством совпадения множеств точек.
Геометрическое место точек — множество всех точек плоскости, удовлетворяющих одному и тому же условию.
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Поэтому в задачах о равноудалённости от прямых важно сравнивать именно перпендикулярные расстояния, а не наклонные отрезки.
Выделите объект, от которого измеряется расстояние; замените условие геометрическим свойством; назовите известное ГМТ; проверьте обратное утверждение.
Точки, равноудалённые от концов отрезка
Пусть дан отрезок \(AB\). Все точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от \(A\) и \(B\), образуют серединный перпендикуляр к отрезку \(AB\).
Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через его середину и перпендикулярная этому отрезку.
Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от концов этого отрезка.
Здесь \(m\) — серединный перпендикуляр к \(AB\). Прямая \(m\) является не только местом точек с равными расстояниями, но и осью симметрии отрезка: при отражении относительно \(m\) точки \(A\) и \(B\) переходят друг в друга.
Построение выполняют циркулем и линейкой и циркулем: из точек \(A\) и \(B\) проводят дуги одинакового радиуса, большего половины \(AB\), затем соединяют точки пересечения дуг. Полученная прямая и есть \(m\).
Точки, равноудалённые от сторон угла
Рассмотрим угол \(AOB\). Его внутренние точки, равноудалённые от сторон \(OA\) и \(OB\), лежат на биссектрисе угла. Свойства этого объекта подробно рассматриваются на странице свойства биссектрисы угла.
Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
Точка внутренней области угла равноудалена от его сторон тогда и только тогда, когда лежит на биссектрисе этого угла.
Доказательство основано на равенстве прямоугольных треугольников: если из точки \(P\) опустить перпендикуляры на стороны угла, то равные расстояния до сторон означают равенство соответствующих катетов. Обратно, точка на биссектрисе имеет равные углы с обеими сторонами, поэтому перпендикулярные расстояния до сторон равны.
Для внешней области угла аналогичное свойство имеет внешняя биссектриса. В задачах необходимо внимательно определить, о какой области говорится: внутренней или внешней.
Где лежит точка, равноудалённая от концов отрезка \(AB\)?
Точки, равноудалённые от одной точки
Если расстояние от точки \(P\) до фиксированной точки \(O\) постоянно и равно \(r\), то все такие точки образуют окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\). Это частный случай темы геометрических мест точек.
Окружность — геометрическое место точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии \(r\) от данной точки \(O\).
Если условие имеет вид \(OP\le r\), получается круг, включая внутреннюю область и саму окружность. Если \(OP<r\), граница окружности не входит в множество. Если \(OP\ge r\), берутся внешняя область и окружность.
Окружность задаёт равенство расстояния: \(OP=r\). Круг задаёт неравенство: \(OP\le r\) или \(OP<r\).
Разобранный пример
Даны точки \(A(2;1)\) и \(B(8;5)\). Найдите уравнение геометрического места точек \(P(x;y)\), равноудалённых от \(A\) и \(B\).
Используем условие \(PA=PB\). Возводить расстояния в квадрат удобно: корни исчезают, а равенство не меняется.
Ответ: \(3x+2y-21=0\). Это серединный перпендикуляр к \(AB\). Проверим геометрически: середина \(AB\) имеет координаты \(\left(5;3\right)\), а угловой коэффициент \(AB\) равен \(\frac{5-1}{8-2}=\frac23\). У найденной прямой угловой коэффициент \(-\frac32\), поэтому прямые перпендикулярны, и найденная прямая проходит через середину \(AB\).
Построение и типичные ошибки
При построении ГМТ сначала определяют вид фигуры, затем отмечают несколько точек или используют стандартное построение. Для окружности достаточно найти центр и отложить радиус циркулем. Для биссектрисы применяют стандартное построение биссектрисы угла, описанное на странице биссектриса угла.
1. Путают окружность и круг: окружность состоит только из точек на расстоянии \(r\). 2. Измеряют расстояние до стороны угла по наклонному отрезку, а не по перпендикуляру. 3. Проводят перпендикуляр через произвольную точку отрезка вместо его середины. 4. Доказывают только одну сторону теоремы и не показывают, что найденная фигура содержит все подходящие точки. 5. В координатной задаче приравнивают сами расстояния с корнями и получают лишние вычислительные ошибки.
Чтобы сравнить расстояния, приравнивайте их квадраты. Так сохраняется условие равенства, но не появляются квадратные корни.
Как распознавать ГМТ в задаче
- «Равноудалена от двух точек» — ищите серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.
- «Равноудалена от двух пересекающихся прямых» — ищите биссектрисы образованных углов.
- «Находится на расстоянии r от точки» — ищите окружность с центром в этой точке.
- «Расстояние не больше r» — рассматривайте круг, а не только окружность.
- «Найдите точку, равноудалённую от трёх точек» — пересекайте серединные перпендикуляры к двум отрезкам.
Быстрая проверка
Главное
- ГМТ — множество всех точек, удовлетворяющих одному условию.
- Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре.
- Точки, равноудалённые от сторон угла, лежат на его биссектрисе; для внешней области используется внешняя биссектриса.
- Точки на расстоянии \(r\) от центра \(O\) образуют окружность: \(OP=r\); условие \(OP\le r\) задаёт круг.
- В координатных задачах равенство расстояний удобно заменять равенством их квадратов.