Задание № 24 · ОГЭ

Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла

Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, — это его биссектриса. Точнее, все точки внутренней биссектрисы угла находятся на одинаковом расстоянии от обеих его сторон, и наоборот.

Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла

Для данного угла множество всех его внутренних точек, расстояния от которых до обеих сторон угла равны, является лучом внутренней биссектрисы угла, выходящим из вершины. Расстояние до стороны понимают как длину перпендикуляра, опущенного из точки на эту сторону.

Почему это верно

Пусть точка \(M\) лежит на биссектрисе угла \(AOB\). Опустим из неё перпендикуляры \(MH\) и \(MK\) на стороны \(OA\) и \(OB\). Прямоугольные треугольники \(OMH\) и \(OMK\) имеют общую гипотенузу \(OM\) и равные острые углы при вершине \(O\), поэтому они равны. Следовательно, \(MH=MK\): точка \(M\) равноудалена от сторон угла.

Обратно, если внутренняя точка \(M\) равноудалена от сторон угла, то прямоугольные треугольники \(OMH\) и \(OMK\) имеют общую гипотенузу и равные катеты \(MH=MK\). Они равны, поэтому углы \(HOM\) и \(MOK\) равны. Значит, луч \(OM\) — биссектриса.

\[M\in\text{биссектрисе угла }\Longleftrightarrow\operatorname{dist}(M,OA)=\operatorname{dist}(M,OB)\]

№

Пример

В угле \(AOB\) точка \(M\) такова, что расстояние от неё до стороны \(OA\) равно \(4\) см и до стороны \(OB\) также равно \(4\) см. Тогда \(M\) лежит на внутренней биссектрисе угла \(AOB\). Если точка расположена внутри угла, достаточно проверить равенство этих двух перпендикулярных расстояний.

Не перепутайте

Геометрические места точек, равноудалённых от объектов, зависят от самих объектов. Для двух сторон угла получается биссектриса, а для одной точки — окружность с центром в этой точке. Кроме того, для двух пересекающихся прямых существуют две биссектрисы: внутренняя и внешняя; в данном утверждении обычно рассматривают точки внутри угла и его внутреннюю биссектрису.

Проверьте себя

Точка \(P\) лежит внутри угла и равноудалена от его сторон. Где она находится?

Главное за минуту

Главное

Внутренняя биссектриса угла — геометрическое место его внутренних точек, равноудалённых от обеих сторон.
Расстояние до стороны измеряют по перпендикуляру.
Если точка внутри угла равноудалена от его сторон, она лежит на биссектрисе, и наоборот.