Формула Гаусса для площади
Формула Гаусса позволяет найти площадь многоугольника по координатам его вершин без вычисления длин сторон и углов. Нужно записать вершины в порядке обхода границы и выполнить попарные умножения координат.
Формула
Пусть вершины многоугольника имеют координаты \((x_1,y_1), (x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)\). Последнюю вершину после первой считают первой: \(x_{n+1}=x_1\), \(y_{n+1}=y_1\).
Модуль нужен потому, что при обходе вершин против часовой стрелки сумма может получиться отрицательной, а площадь не бывает отрицательной. Этот алгоритм является частью темы площадь фигуры по координатам; после него полезно прочитать страницу о координатном методе площади многоугольника.
Найдём площадь треугольника с вершинами \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(4,3)\). Записываем вершины в порядке \(A,B,C\) и возвращаемся из \(C\) к \(A\): \(S=\frac12|0\cdot0+4\cdot3+4\cdot0-(0\cdot4+0\cdot4+3\cdot0)|=\frac12\cdot12=6\). Площадь равна \(6\) квадратным единицам.
Нельзя перечислять вершины в произвольном порядке: отрезки между соседними точками могут пересекаться, и формула даст неверный результат. Сначала проверьте их порядок на координатной плоскости. Также не забывайте взять модуль всей суммы, а не отдельных слагаемых.
Что нужно сделать с последней вершиной при применении формулы Гаусса?
Главное
- Вершины записывают последовательно по границе многоугольника.
- Площадь равна половине модуля суммы \(x_i y_{i+1}-y_i x_{i+1}\).
- В последней паре координаты следующей вершины совпадают с координатами первой.