Задания № 15, 18 · ЕГЭ

Площадь фигуры по координатам

Как найти площадь многоугольника по координатам его вершин

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Площадь фигуры по координатам находят по координатам её вершин: для прямоугольника и треугольника используют известные формулы, а для произвольного многоугольника — координатный метод, или формулу Гаусса. Вершины должны быть записаны по порядку обхода границы.

Это площадь многоугольника, вычисленная по координатам его вершин на координатной плоскости. Для многоугольника с вершинами, перечисленными последовательно, применяют формулу Гаусса; результат берут по модулю, потому что площадь не может быть отрицательной.

Формула Гаусса

\[S=\frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1}-y_i x_{i+1})\right|,\qquad (x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1)\]

Здесь \(n\) — число вершин, а \((x_i,y_i)\) и \((x_{i+1},y_{i+1})\) — соседние вершины. В последней паре после последней вершины снова берут первую. Формула также называется формулой Гаусса для площади и является основой координатного метода вычисления площади многоугольника.

№

Пример

Найдём площадь треугольника с вершинами \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(4;3)\). Подставляем координаты в формулу: \(S=\frac12|0\cdot0-0\cdot4+4\cdot3-0\cdot4+4\cdot0-3\cdot0|=\frac12\cdot12=6\). Ответ: \(6\) квадратных единиц.

Частая ошибка

Не путайте площадь с ориентированной площадью: если вершины обходить по часовой стрелке, сумма в формуле может получиться отрицательной. Поэтому в конце обязательно используют модуль. Также нельзя переставлять вершины произвольно: порядок должен идти по границе многоугольника, без перескакивания через другие вершины.

Проверь себя

Как изменится результат формулы Гаусса, если вершины того же многоугольника перечислить в обратном порядке?

Главное за минуту

Главное

Записывайте вершины многоугольника последовательно по его границе.
Используйте формулу \(S=\frac12\left|\sum(x_i y_{i+1}-y_i x_{i+1})\right|\).
Замыкайте вычисление первой вершиной и берите модуль результата.