Задачи на вписанные углы
Задачи на окружность обычно решаются не вычислением по сложным формулам, а распознаванием связи между углами, дугами, хордами и диаметрами. На этой странице собраны основные методы, которые нужны для задач об окружности и вписанных фигурах.
Основные понятия и обозначения
Окружность задаётся центром \(O\) и радиусом \(R\). Отрезок, соединяющий центр с точкой окружности, называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, — хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух других точках. Если вершина угла \(B\), а стороны проходят через \(A\) и \(C\), угол обозначают \(\angle ABC\).
Дуга \(AC\) — часть окружности между точками \(A\) и \(C\). Если дуга является половиной окружности, она опирается на диаметр и имеет градусную меру \(180^\circ\).
Перед решением полезно отметить на рисунке дугу, на которую опирается угол. Вершина вписанного угла не входит в эту дугу: дуга расположена напротив вершины, между точками пересечения сторон угла с окружностью.
Теоремы о вписанных углах и дугах
Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Из этой теоремы следуют два обратных перехода: чтобы найти угол, нужно разделить дугу пополам; чтобы найти дугу, нужно удвоить вписанный угол.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Поэтому, если точки \(B\) и \(D\) лежат на одной дуге окружности, то \(\angle ABC=\angle ADC\), если оба угла опираются на дугу \(AC\).
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Это теорема Фалеса: если \(AC\) — диаметр, то \(\angle ABC=90^\circ\).
Для более сложных задач удобно вспомнить центральный угол: его градусная мера равна мере соответствующей дуги. Поэтому вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза меньше центрального.
Вписанный угол опирается на дугу \(140^\circ\). Чему равен угол?
Алгоритм решения задач
- Найдите вершину нужного угла и две точки, где его стороны пересекают окружность.
- Определите дугу, на которую опирается угол. Она находится напротив вершины.
- Проверьте, не является ли хорда диаметром. Тогда угол сразу равен \(90^\circ\).
- Свяжите угол и дугу формулой \(\angle=\frac{1}{2}\text{дуги}\).
- Если требуется найти неизвестный угол, используйте сумму углов треугольника, равенство углов на одной дуге или свойства хорды и дуги окружности.
Проведите мысленно лучи от вершины вписанного угла к концам хорды. Дуга, которую нужно брать, лежит на противоположной стороне от вершины. Именно её мера делится на два.
Разобранный пример
В окружности точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежат на окружности. Известно, что \(AC\) — диаметр, а \(\angle BAC=28^\circ\). Найдите \(\angle BDC\).
В решении применены две идеи: вписанный угол равен половине дуги и вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Условие о диаметре \(AC\) здесь не обязательно для вычисления \(\angle BDC\), но часто оно даёт дополнительный прямой угол: \(\angle ABC=90^\circ\).
Вписанные треугольники и четырёхугольники
Треугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Для такого треугольника удобно рассматривать каждый угол как вписанный и связывать его с противоположной дугой.
Если все вершины четырёхугольника лежат на одной окружности, то сумма его противоположных углов равна \(180^\circ\).
Почему это верно: угол \(A\) опирается на дугу \(BCD\), а угол \(C\) — на дугу \(BAD\). Вместе эти дуги составляют всю окружность, то есть \(360^\circ\). Сумма углов равна половине \(360^\circ\), то есть \(180^\circ\).
Если в задаче сказано, что около окружности построен четырёхугольник, это уже другая ситуация: речь идёт об описанном четырёхугольнике, у которого стороны касаются окружности. Не смешивайте вписанную и описанную фигуры.
Хорды, диаметры и дополнительные свойства
Диаметр является самой длинной хордой окружности. Центр окружности, проведённый к середине хорды, образует перпендикуляр к хорде и делит её пополам. Эти свойства особенно полезны, когда в задаче есть расстояние от центра до хорды.
Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Верно и обратное: если радиус проходит через середину хорды, то он перпендикулярен хорде.
Если известны радиус \(R\), расстояние \(d\) от центра до хорды и половина хорды \(a\), получается прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: \(a^2+d^2=R^2\).
В задачах на пересекающиеся хорды используется ещё одно правило: произведения отрезков двух хорд, пересекающихся внутри окружности, равны.
Для задач, где окружность задана координатами, можно перейти к координатно-векторному методу, а середину хорды находить по формуле координат середины отрезка.
Частые ошибки
Нельзя брать дугу, расположенную между вершиной и одной из точек угла. Вписанный угол опирается на дугу между двумя точками пересечения его сторон с окружностью, противоположную вершине.
Центральный угол равен дуге, а вписанный — половине дуги. Если угол имеет вершину в центре окружности, делить дугу на два не нужно.
Хорда является диаметром только тогда, когда проходит через центр окружности. Одного факта, что угол прямой, недостаточно, если обратная теорема не применяется явно.
Запомните три правила: \(\angle=\frac12\) дуги; углы на одной дуге равны; угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\).
Быстрая проверка
Главное
- Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
- Углы, опирающиеся на одну дугу, равны; угол, опирающийся на диаметр, прямой.
- Вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов \(180^\circ\).
- Для хорды используйте прямоугольный треугольник: \(AB=2\sqrt{R^2-d^2}\).
- В решении сначала отмечайте вершину угла и дугу, на которую он опирается.