Вписанный угол
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность и образуют хорды. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Чтобы работать с вписанными углами, полезно повторить свойства центрального угла и строение окружности и круга. Вершину вписанного угла обычно обозначают буквой на окружности, например \(\angle ABC\). Такой угол опирается на дугу \(AC\), не содержащую вершину \(B\).
Теорема о вписанном угле
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Если дуга \(AC\) имеет меру \(\alpha\), то \(\angle ABC=\frac{\alpha}{2}\).
Из теоремы следуют важные случаи: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, потому что диаметр стягивает дугу в \(180^\circ\), а половина этой меры равна \(90^\circ\).
Дуга \(AC\) имеет меру \(120^\circ\). Вписанный угол \(\angle ABC\), опирающийся на эту дугу, равен \(120^\circ:2=60^\circ\). Если известен угол \(\angle ABC=35^\circ\), то дуга \(AC\) равна \(35^\circ\cdot2=70^\circ\).
Вписанный угол не равен дуге, на которую он опирается: он в два раза меньше. У центрального угла вершина находится в центре окружности, поэтому его мера равна мере соответствующей дуги.
На какую дугу опирается угол \(\angle ABC\)?
Главное
- Вписанный угол имеет вершину на окружности, а его стороны являются хордами.
- Мера вписанного угла равна половине меры дуги, на которую он опирается.
- Углы, опирающиеся на одну дугу, равны; угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\).