Задания № 4, 7 · ЕГЭ

Свойства хорд окружности

Перпендикуляр от центра, равные хорды и произведения отрезков

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Свойства хорд окружности помогают связывать длины хорд, расстояния от центра и отрезки, на которые хорды делятся при пересечении. Главное правило: перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам.

Хорда окружностиСлово происходит от греческого слова со значением «струна».

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. В отличие от окружности, хорда является отрезком, а не линией. Диаметр — частный случай хорды, проходящей через центр; см. радиус и диаметр.

Основные свойства хорд

Пусть \(AB\) — хорда окружности с центром \(O\), а \(OM\perp AB\). Тогда точка \(M\) — середина хорды: \(AM=MB\). Поэтому расстояние от центра до хорды можно найти по прямоугольному треугольнику \(AOM\).

\[AM=MB=\frac{AB}{2},\qquad OM=\sqrt{R^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}\]1

Обратно: если отрезок из центра к середине хорды перпендикулярен этой хорде, то он является расстоянием от центра до хорды. Равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра, и наоборот: хорды, равноудалённые от центра, равны.

Если две хорды пересекаются внутри окружности в точке \(P\), то произведения отрезков этих хорд равны: \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\). Это свойство называют теоремой о пересекающихся хордах. Подробное понятие хорды и дуги разобрано на странице хорда и дуга окружности.

№

Пример

Радиус окружности равен \(13\) см, хорда \(AB\) — \(10\) см. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, поэтому \(AM=5\) см. В прямоугольном треугольнике \(AOM\): \(OM=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\) см.

Не перепутайте

Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, но не всякий отрезок от центра до точки хорды является перпендикуляром. Для вычислений сначала проверьте условие \(OM\perp AB\).

Проверь себя

Хорда длиной \(16\) см находится на расстоянии \(15\) см от центра. Чему равен радиус окружности?

Главное за минуту

Главное

Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам.
Равные хорды равноудалены от центра, и наоборот.
Для пересекающихся внутри окружности хорд выполняется \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).