Длина дуги окружности
Длина дуги окружности — это длина части окружности между двумя её точками. Чтобы найти её, используют радиус окружности и величину соответствующего центрального угла: чем больше угол, тем длиннее дуга.
Формула длины дуги
Если центральный угол измерен в градусах и равен \(\alpha\), длина дуги составляет такую же долю от длины всей окружности, какую угол составляет от \(360^\circ\). Поэтому сначала находят длину всей окружности \(2\pi R\), а затем умножают её на \(\frac{\alpha}{360^\circ}\).
Здесь \(R\) — радиус окружности, а \(\alpha\) — центральный угол в градусах. Если угол задан в радианах, используется более короткая формула \(L=R\alpha\).
Радиус окружности равен \(6\) см, а центральный угол — \(60^\circ\). Тогда \(L=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 6=2\pi\) см. Дуга составляет шестую часть всей окружности.
Хорда и дуга окружности имеют одни и те же концы, но измеряются по-разному. Длина дуги идёт по окружности и вычисляется по формуле \(L=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi R\), а длина хорды — это длина прямого отрезка между концами дуги. Хорда обычно короче соответствующей дуги.
Как изменится длина дуги, если радиус оставить прежним, а центральный угол увеличить в 2 раза?
Связь с окружностью и вписанными фигурами
В задачах на вписанный четырехугольник или другие вписанные фигуры сначала находят нужный центральный угол либо используют свойства углов, опирающихся на дугу. После этого подставляют угол и радиус в формулу длины дуги.
Главное
- Длина дуги — часть длины окружности между двумя точками.
- При угле в градусах: \(L=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi R\).
- Не следует путать длину дуги с длиной хорды; при радианном измерении угла используется формула \(L=R\alpha\).