Задания № 7, 9 · ЕГЭ

Расстояние от центра окружности до хорды

Как связаны радиус окружности, хорда и расстояние от центра до хорды

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, проведённого из центра к прямой, содержащей хорду. Оно связывает радиус окружности и длину хорды через прямоугольный треугольник.

Пусть \(O\) — центр окружности, \(AB\) — хорда, а \(OM\perp AB\), где \(M\) — точка пересечения перпендикуляра с хордой. Тогда длина отрезка \(OM\) называется расстоянием от центра окружности до хорды. Обычно это расстояние обозначают буквой \(d\).

Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\). Поэтому треугольник \(OMA\) — прямоугольный; перед применением формул полезно повторить свойства прямоугольного треугольника.

Формулы

Если \(R\) — радиус окружности, \(a\) — длина хорды, а \(d\) — расстояние от центра до хорды, то по теореме Пифагора:

\[R^2=d^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Отсюда можно найти расстояние до хорды:

\[d=\sqrt{R^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

Также используются обратные формулы: \(R=\sqrt{d^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}\) и \(a=2\sqrt{R^2-d^2}\). Эти зависимости применяют при решении задач на свойства хорд окружности и при нахождении радиуса по хорде и расстоянию до центра.

№

Пример

Радиус окружности равен \(5\) см, длина хорды — \(8\) см. Половина хорды равна \(4\) см. Поэтому \(d=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3\) см.

Не перепутайте

Расстояние от центра до хорды — это перпендикуляр \(OM\), а не сама хорда \(AB\) и не расстояние от центра до её конца. Если хорда проходит через центр, она является диаметром, и расстояние до неё равно \(0\).

Проверьте себя

Радиус окружности равен \(10\), а расстояние от центра до хорды — \(6\). Чему равна длина хорды?

Главное за минуту

Главное

Расстояние до хорды — длина перпендикуляра из центра к хорде.
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам.
Основная формула: \(R^2=d^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2\).