Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник — это треугольник с одним прямым углом. В этой теме важно научиться различать катеты и гипотенузу, использовать теорему Пифагора, находить высоту к гипотенузе и применять основные свойства такого треугольника.
Определение и элементы
Сначала вспомним сумму углов треугольника: сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\). В прямоугольном треугольнике один угол равен \(90^\circ\), поэтому два других угла острые, а их сумма равна \(90^\circ\).
Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого прямой. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой.
На рисунке прямой угол находится при вершине \(A\). Поэтому \(AB\) и \(AC\) — катеты, а \(BC\) — гипотенуза. Гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной треугольника.
1. Гипотенуза больше каждого катета. 2. Два острых угла в сумме дают \(90^\circ\). 3. Если один острый угол равен \(30^\circ\), то катет напротив него равен половине гипотенузы. 4. Если катеты равны, то острые углы равны по \(45^\circ\).
Теорема Пифагора и обратная теорема
Главное вычислительное свойство прямоугольного треугольника выражает теорема Пифагора. Пусть \(a\) и \(b\) — катеты, а \(c\) — гипотенуза.
Из этой формулы можно выразить любую сторону. Если нужно найти гипотенузу, складывают квадраты катетов и извлекают квадратный корень. Если неизвестен катет, из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета.
Если для сторон треугольника выполняется равенство \(a^2+b^2=c^2\), где \(c\) — наибольшая сторона, то треугольник прямоугольный, а угол напротив стороны \(c\) равен \(90^\circ\).
Обратная теорема полезна, когда по трём сторонам нужно определить вид треугольника. Например, стороны \(6\), \(8\) и \(10\) образуют прямоугольный треугольник, потому что \(6^2+8^2=36+64=100=10^2\).
Какая сторона является гипотенузой в прямоугольном треугольнике?
Высота к гипотенузе
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника. Эти три треугольника попарно подобны: у них есть равные углы, включая прямые углы. Подробнее идея используется в теме подобия треугольников.
Пусть из вершины \(A\) прямого угла проведена высота \(AH\) к гипотенузе \(BC\). Точка \(H\) лежит на \(BC\), а \(AH\perp BC\). Отрезки \(BH\) и \(HC\) называют проекциями катетов на гипотенузу.
Если катеты равны \(a\) и \(b\), гипотенуза равна \(c\), а высота к гипотенузе равна \(h\), то площадь треугольника можно выразить двумя способами: через катеты и через гипотенузу с высотой.
Отсюда следует формула высоты через стороны:
Для прямоугольного треугольника выполняются равенства \(a^2=c\cdot BH\) и \(b^2=c\cdot HC\). Они следуют из подобия исходного треугольника и двух треугольников, на которые его делит высота.
Свойства углов и медианы
Если один из острых углов известен, второй можно найти вычитанием из \(90^\circ\). Например, при угле \(35^\circ\) второй острый угол равен \(55^\circ\).
Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если \(M\) — середина гипотенузы \(BC\), то \(AM=BM=CM=\frac{BC}{2}\).
Это свойство связано с медианой треугольника и часто позволяет быстро найти расстояние до середины гипотенузы. Кроме того, центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы.
Катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Поэтому если гипотенуза равна \(14\), то катет напротив угла \(30^\circ\) равен \(7\).
Разобранный пример
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(A\) прямой, \(AB=6\), \(AC=8\). Найдём гипотенузу \(BC\), высоту \(AH\), проведённую к гипотенузе, и площадь треугольника.
Гипотенуза \(BC=10\), площадь \(S=24\), высота к гипотенузе \(AH=4{,}8\). Проверка: высота меньше обоих катетов, что правдоподобно.
Как решать задачи и не ошибаться
- Отметьте прямой угол и назовите катеты — стороны, образующие этот угол.
- Найдите гипотенузу как сторону напротив прямого угла.
- Выберите подходящую формулу: теорему Пифагора, площадь, свойство медианы или углов.
- Подставьте числа с единицами измерения и проверьте результат.
1. Путают гипотенузу и катет. Гипотенуза всегда напротив прямого угла. 2. Используют теорему Пифагора в любом треугольнике. Она действует только в прямоугольном треугольнике. 3. Забывают извлечь корень. Из равенства \(c^2=100\) следует \(c=10\), а не \(100\). 4. Неправильно находят высоту. Формула \(h=\frac{ab}{c}\) относится именно к высоте к гипотенузе. 5. Складывают длины вместо квадратов. В теореме Пифагора нужны \(a^2\) и \(b^2\).
Гипотенуза должна быть больше каждого катета, но меньше их суммы. Высота к гипотенузе должна быть меньше обоих катетов. Площадь должна иметь квадратные единицы: \(\text{см}^2\), \(\text{м}^2\) и так далее.
Итоговая самопроверка
Главное
- Катеты образуют прямой угол, а гипотенуза лежит напротив него и является самой длинной стороной.
- Основная формула: \(a^2+b^2=c^2\). Обратная теорема помогает доказать, что треугольник прямоугольный.
- Площадь можно считать по формулам \(S=\frac{ab}{2}\) и \(S=\frac{ch}{2}\); высота к гипотенузе равна \(h=\frac{ab}{c}\).
- Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, а катет напротив угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы.
- Перед решением всегда определяйте прямой угол, катеты и гипотенузу, а затем проверяйте разумность ответа.