Формула Герона
Формула Герона позволяет найти площадь треугольника, если известны длины всех трёх его сторон. Для вычисления также используют полупериметр треугольника.
Формула
Пусть \(a\), \(b\) и \(c\) — стороны треугольника, а \(p\) — его полупериметр. Тогда площадь \(S\) вычисляют так:
В радикале должны стоять четыре неотрицательных множителя: \(p\), \(p-a\), \(p-b\) и \(p-c\). Поэтому перед применением формулы важно убедиться, что данные стороны действительно могут образовать треугольник.
Стороны треугольника равны \(3\), \(4\) и \(5\). Полупериметр: \(p=\frac{3+4+5}{2}=6\). Тогда \(S=\sqrt{6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-5)}=\sqrt{36}=6\). Площадь треугольника равна \(6\) квадратным единицам.
Формула Герона не является формулой только для прямоугольного треугольника: она подходит для любого треугольника. В примере стороны \(3\), \(4\) и \(5\) образуют прямоугольный треугольник, поэтому его площадь можно было найти и другим способом — по двум катетам. Формула Герона использует только три стороны и не требует знания высоты или углов.
Чему равен полупериметр треугольника со сторонами \(5\), \(6\) и \(7\)?
Формула Герона является одним из способов находить площадь треугольника. Если известны основание и высота, иногда удобнее применить другую формулу площади.
Главное
- Сначала находят полупериметр: \(p=\frac{a+b+c}{2}\).
- Затем вычисляют площадь по формуле \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).
- Формула подходит для любого треугольника, стороны которого удовлетворяют неравенству треугольника.