ЕГЭОГЭ
Задания № 12, 18 · ЕГЭ

Площадь треугольника

Как находить площадь треугольника по основанию и высоте, а также по двум сторонам и углу между ними
5 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Площадь треугольника можно вычислить разными способами в зависимости от известных данных. В этой теме разберём две основные формулы: через основание и высоту, а также через две стороны и синус угла между ними.

Основание и высота

Элементы треугольника — вершины, стороны, углы, медианы, биссектрисы и высоты. Для вычисления площади особенно важны основание и проведённая к нему высота.

D
Определение

Основание треугольника — любая выбранная сторона. Высота — перпендикуляр, проведённый из противоположной вершины к прямой, содержащей основание. Длину основания обозначают \(a\), соответствующую высоту — \(h_a\).

ABCh_aa
Треугольник \(ABC\): основание \(AB=a\), высота \(CH=h_a\).
T
Формула площади через основание и высоту

Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на длину высоты, проведённой к этому основанию.

\[S=\frac{1}{2}ah_a\]

Формула верна для любого треугольника: остроугольного, прямоугольного и тупоугольного. В тупоугольном треугольнике высота может падать на продолжение стороны, но её длина всё равно используется в формуле. Основание можно выбрать любой стороной: \(S=\frac12 ah_a=\frac12 bh_b=\frac12 ch_c\).

Как выбрать основание

Выбирайте стороной основания ту сторону, для которой известна или легко находится соответствующая высота. Нельзя умножать сторону \(a\) на высоту \(h_b\), проведённую к другой стороне.

Почему появляется множитель одна вторая

Треугольник можно мысленно дополнить до параллелограмма с тем же основанием и высотой. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому площадь одного треугольника в два раза меньше площади параллелограмма.

1
Площадь параллелограмма с основанием \(a\) и высотой \(h_a\) равна произведению основания на высоту.
\(\displaystyle S_{\text{пар}}=a h_a\)
2
Треугольник составляет половину такого параллелограмма.
\(\displaystyle S=\frac12 S_{\text{пар}}\)
3
Подставляем выражение для площади параллелограмма.
\(\displaystyle S=\frac12 a h_a\)

Единицы площади должны быть квадратными: если основание и высота измерены в сантиметрах, площадь получится в \(\text{см}^2\). Перед вычислением приведите все длины к одной единице измерения.

Две стороны и угол между ними

Иногда высота не дана, но известны две стороны и угол между ними. Пусть известны стороны \(a\) и \(b\), а угол между ними равен \(\gamma\). Тогда высоту к стороне \(a\) можно выразить через сторону \(b\) и синус угла \(\gamma\): \(h_a=b\sin\gamma\).

T
Формула через две стороны и угол

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

\[S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\]

Аналогично используются любые две стороны и угол между ними: \(S=\frac12 bc\sin\alpha\) или \(S=\frac12 ac\sin\beta\). Угол должен находиться между выбранными сторонами. Если в условии даны стороны \(a\) и \(b\), нельзя автоматически брать синус третьего угла.

Проверь себя

Стороны треугольника равны \(6\) и \(8\), угол между ними — \(30^\circ\). Какая формула подходит для площади?

Эта формула следует из основной. Если сторона \(a\) выбрана основанием, то высота к ней равна проекции стороны \(b\): \(h_a=b\sin\gamma\). Подстановка в формулу \(S=\frac12 ah_a\) даёт \(S=\frac12 ab\sin\gamma\).

Разобранный пример

№
Найти площадь по двум сторонам и углу

В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB=10\) см и \(AC=6\) см, угол \(A=30^\circ\). Найдём площадь.

Показать решение Решение

Угол \(A\) заключён между сторонами \(AB\) и \(AC\), значит, можно применить формулу \(S=\frac12 ab\sin\gamma\).

1
Записываем известные величины и формулу.
\(\displaystyle S=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\)
2
Подставляем значения.
\(\displaystyle S=\frac12\cdot10\cdot6\cdot\sin30^\circ\)
3
Используем значение синуса угла.
\(\displaystyle \sin30^\circ=\frac12\)
4
Выполняем вычисления.
\(\displaystyle S=\frac12\cdot10\cdot6\cdot\frac12=15\ \text{см}^2\)

Ответ: \(15\ \text{см}^2\).

Если угол не табличный, результат можно оставить в виде выражения с синусом или округлить по условию. Следите, чтобы калькулятор работал в градусном режиме, если угол дан в градусах.

Связь с другими формулами площади

Формулы площади образуют единую систему. Если известны три стороны, удобно использовать формулу Герона. Для неё сначала находят полупериметр \(p=\frac{a+b+c}{2}\), а затем вычисляют площадь. Более полный набор способов собран на странице Формулы площади треугольника.

Если в задаче нужно найти высоту, зная площадь и основание, преобразуйте основную формулу: \(h_a=\frac{2S}{a}\). Если нужно найти основание, то \(a=\frac{2S}{h_a}\). Такие преобразования часто встречаются в задачах о высоте и площади.

!
Частые ошибки

1. Забывают множитель \(\frac12\). 2. Берут косинус вместо синуса. 3. Используют угол, который не является углом между выбранными сторонами. 4. Умножают сторону на высоту, проведённую к другой стороне. 5. Не переводят квадратные единицы: \(1\ \text{м}^2=10\,000\ \text{см}^2\). 6. Округляют промежуточные значения слишком рано.

Запомнить

Через основание и высоту: \(S=\frac12 ah_a\). Через две стороны и угол между ними: \(S=\frac12 ab\sin\gamma\). В обеих формулах площадь — половина подходящего произведения.

Алгоритм решения задач

  1. Выпишите, какие стороны, углы, высоты и площадь даны.
  2. Определите, какая формула подходит: основание и высота или две стороны и угол между ними.
  3. Проверьте соответствие: высота должна быть проведена к выбранному основанию, а угол — заключён между выбранными сторонами.
  4. Приведите единицы измерения к единой системе.
  5. Подставьте данные, вычислите значение и запишите единицы площади.
Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · Формула через основание и высоту
Основание треугольника равно \(14\) см, высота к нему — \(5\) см. Чему равна площадь?
Главное за минуту

Главное

  • Площадь треугольника через основание и высоту вычисляют по формуле \(S=\frac12 ah_a\).
  • По двум сторонам и углу между ними используют формулу \(S=\frac12 ab\sin\gamma\).
  • Высота должна соответствовать выбранному основанию, а угол — быть заключённым между выбранными сторонами.
  • Площадь измеряется в квадратных единицах; перед вычислением длины нужно привести к одной единице.
  • Если известны три стороны, вместо этих формул можно применить формулу Герона.