ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задание № 16 · ОГЭ

Высота треугольника и площадь

Как находить высоту, сторону и площадь треугольника
5 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Высота треугольника связывает его площадь с выбранной стороной: если известны два из трёх величин — площадь, сторона и высота, — третью можно найти преобразованием одной формулы. Тема помогает решать задания на площадь и высоты, в том числе задания ОГЭ-16 и ЕГЭ-9.

Что такое высота треугольника

Сначала полезно повторить материал страницы о площади треугольника, а затем перейти к странице о высоте треугольника, где рассмотрены разные виды высот. Здесь высота рассматривается прежде всего как элемент формулы площади.

D
Определение

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Высоту обозначают буквой \(h\). Если высота проведена из вершины \(A\) к стороне \(BC\), то её можно обозначить \(h_a\), а основание высоты — точку \(H\).

BCAh_aH
Высота \(AH\) проведена из вершины \(A\) к стороне \(BC\).

В остроугольном треугольнике основание высоты лежит на стороне. В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами. В тупоугольном треугольнике некоторые высоты проходят к продолжениям сторон, но формула площади остаётся той же.

T
Главное правило

Площадь треугольника равна половине произведения стороны, принятой за основание, на высоту, проведённую к этой стороне.

\[S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c\]

Здесь \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника, а \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\) — соответствующие им высоты. Нельзя умножать сторону на высоту, проведённую к другой стороне: например, в выражении \(S=\frac12 ah_a\) высота обязательно должна быть \(h_a\).

Как находить неизвестный элемент

Из основной формулы получают три удобных варианта. Выбор варианта зависит от того, что требуется найти.

\[S=\frac{1}{2}ah_a\]
\[h_a=\frac{2S}{a}\]
\[a=\frac{2S}{h_a}\]
  1. Если известны основание и высота, умножьте их и разделите результат на \(2\).
  2. Если известны площадь и основание, умножьте площадь на \(2\) и разделите на основание.
  3. Если известны площадь и высота, умножьте площадь на \(2\) и разделите на высоту.
Приём для проверки

Проверьте единицы измерения. Если сторона дана в сантиметрах, а высота — в метрах, сначала приведите их к одной единице. Площадь выражается в квадратных единицах: \(\text{см}^2\), \(\text{м}^2\).

Микропроверка

Площадь треугольника равна \(36\ \text{см}^2\), основание — \(9\ \text{см}\). Чему равна высота к этому основанию?

Разобранный пример

№
Задача уровня экзамена

В треугольнике основание равно \(14\ \text{см}\), а площадь — \(63\ \text{см}^2\). Найдите высоту, проведённую к этому основанию.

1
Обозначим высоту к основанию \(a=14\ \text{см}\) через \(h_a\). Используем формулу площади треугольника.
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}ah_a\)
2
Выразим высоту: умножим обе части равенства на \(2\) и разделим на \(a\).
\(\displaystyle h_a=\frac{2S}{a}\)
3
Подставим известные значения.
\(\displaystyle h_a=\frac{2\cdot63}{14}=\frac{126}{14}=9\ \text{см}\)
4
Проверим ответ обратной подстановкой: половина произведения основания на высоту должна дать исходную площадь.
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot14\cdot9=63\ \text{см}^2\)

Ответ: \(9\ \text{см}\). Такой способ подходит, даже если высота на рисунке не дана явно, а определить её требуется по площади и стороне.

Связь высот и сторон

Для одного и того же треугольника произведения «сторона умножить на соответствующую высоту» равны, потому что каждое из них равно удвоенной площади.

\[ah_a=bh_b=ch_c=2S\]

Отсюда можно сравнивать высоты. Если две стороны положительны, то высота к большей стороне меньше, а высота к меньшей стороне больше:

\[a>b\Rightarrow h_a<h_b\]

Например, если \(a=12\ \text{см}\), \(b=8\ \text{см}\) и площадь треугольника фиксирована, то \(h_a=2S/12\), а \(h_b=2S/8\). Поэтому \(h_b>h_a\).

T
Отношение высот

В одном треугольнике высоты обратно пропорциональны соответствующим сторонам.

\[\frac{h_a}{h_b}=\frac{b}{a}\]

Эта формула полезна, когда площадь неизвестна, но известны две стороны и одна соответствующая высота. Например, если \(a=15\), \(b=10\), \(h_a=6\), то \(h_b=\frac{15\cdot6}{10}=9\).

Особые случаи и дополнительные связи

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой. Поэтому задачи на высоту иногда требуют знаний о задачах на медиану или задачах на биссектрису треугольника.

В прямоугольном треугольнике площадь можно найти как половину произведения катетов, поскольку один катет является высотой к другому:

\[S=\frac{1}{2}ab\]

Если высота опущена на гипотенузу, для вычислений может понадобиться тригонометрия в прямоугольном треугольнике. Если известен угол и сторона, высоту иногда находят через синус или косинус, но для базовых задач достаточно формулы площади.

!
Частые ошибки

1. Забывают множитель \(\frac12\) и получают удвоенную площадь. 2. Используют не ту высоту: к стороне \(a\) относится только \(h_a\). 3. Не переводят метры в сантиметры перед вычислением. 4. Пишут ответ в квадратных единицах при нахождении высоты. 5. Путают высоту с отрезком, который просто проведён из вершины: высота должна быть перпендикулярна прямой основания.

Запомнить

Чтобы найти высоту по площади и основанию, используйте короткую запись: высота = удвоенная площадь, делённая на основание — \(h=2S:a\).

Алгоритм решения задач

  • Выберите сторону, к которой проведена искомая высота.
  • Обозначьте эту сторону и высоту согласованными буквами: \(a\) и \(h_a\).
  • Запишите формулу \(S=\frac12ah_a\).
  • Выразите неизвестную величину и подставьте числа с единицами измерения.
  • Проверьте вычисления и размерность ответа.
Q
Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · формула площади
Основание треугольника \(18\ \text{см}\), высота к нему \(7\ \text{см}\). Найдите площадь.
Главное за минуту

Главное

  • Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
  • Площадь треугольника вычисляют по формуле \(S=\frac12ah_a\).
  • Высота находится так: \(h_a=2S/a\), а сторона — так: \(a=2S/h_a\).
  • Для одного треугольника \(ah_a=bh_b=ch_c=2S\); большая сторона соответствует меньшей высоте.
  • Всегда согласуйте основание и высоту, следите за единицами и проверяйте размерность ответа.