Задачи на биссектрису треугольника
В задачах на биссектрису треугольника обычно требуется найти отрезки, на которые она делит противоположную сторону, или вычислить её длину. Основной алгоритм опирается на теорему о биссектрисе треугольника, а при поиске длины — на формулу длины биссектрисы.
Основные обозначения и свойство биссектрисы
Рассмотрим треугольник \(ABC\). Биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(D\). Тогда луч \(AD\) делит угол \(A\) на два равных угла: \(\angle BAD=\angle DAC\). Отрезки \(BD\) и \(DC\) являются частями стороны \(BC\).
Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла. В треугольнике биссектриса вершины соединяет эту вершину с противоположной стороной.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\).
Важно правильно сопоставлять стороны. Отрезок \(BD\) прилежит к стороне \(AB\), а отрезок \(DC\) — к стороне \(AC\). Поэтому в пропорции нельзя менять местами только одну пару величин. Также \(BD+DC=BC\) — это дополнительное уравнение, которое часто позволяет найти оба отрезка.
Как находить части противоположной стороны
Если известны \(AB\), \(AC\) и вся сторона \(BC\), действуйте по алгоритму: обозначьте \(BD=x\), выразите \(DC\) через известную длину стороны, составьте пропорцию по теореме и решите уравнение. Иногда удобнее сразу использовать отношение частей: если \(AB:AC=m:n\), то и \(BD:DC=m:n\).
Если сторона \(BC\) разделена биссектрисой в отношении \(m:n\), то сначала найдите сумму частей \(m+n\). Одна доля равна \(\frac{BC}{m+n}\), после чего части равны \(m\cdot\frac{BC}{m+n}\) и \(n\cdot\frac{BC}{m+n}\).
В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(AD\) делит сторону \(BC=18\) см. Известно, что \(AB=5\) см, \(AC=7\) см. Найдём \(BD\) и \(DC\).
Проверка: \(7{,}5+10{,}5=18\), а \(7{,}5:10{,}5=5:7\). Ответ согласуется с условием.
В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(AD\) пересекает \(BC\). Если \(AB:AC=3:4\), какое отношение имеют \(BD\) и \(DC\)?
Как находить длину биссектрисы
Если известны две стороны, заключающие угол, и третья сторона, можно применить формулу длины биссектрисы. Для биссектрисы \(AD\) угла \(A\) обозначим \(AB=c\), \(AC=b\), \(BC=a\). Тогда длина биссектрисы выражается через три стороны.
Эквивалентная и часто более удобная форма этой формулы:
Здесь \(a\) — сторона, противоположная углу \(A\), а \(b\) и \(c\) — стороны, прилежащие к этому углу. Перед подстановкой полезно проверить, что сторона \(a\) действительно лежит напротив вершины, из которой проведена биссектриса.
Если \(AD\) — биссектриса угла \(A\) треугольника со сторонами \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), то \(AD=\frac{\sqrt{bc((b+c)^2-a^2)}}{b+c}\). Подробный вывод и другие формы записи приведены на странице формула длины биссектрисы треугольника.
Для равнобедренного треугольника биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Поэтому в таком случае длину часто проще находить по теореме Пифагора.
В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB=5\) см, \(AC=7\) см, \(BC=8\) см. Найдём длину биссектрисы \(AD\), проведённой из вершины \(A\).
Приближённо \(AD\approx4{,}41\) см. Полученное значение разумно: биссектриса соединяет вершину с точкой на стороне \(BC\), поэтому оно меньше сумм прилежащих сторон и сопоставимо с высотой треугольника.
Задачи, где используются несколько свойств
В экзаменационных задачах теорема о биссектрисе может сочетаться с периметром, площадью, подобием или тригонометрией в прямоугольном треугольнике. Например, если известны отношение \(BD:DC\) и периметр, сначала выражают части стороны через одну переменную, затем находят стороны треугольника.
Если биссектриса разбивает треугольник на два треугольника \(ABD\) и \(ACD\), их высоты к общей прямой \(BC\) одинаковы. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований: \(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\). Это полезный способ решать задачи, в которых даны площади.
1. Сопоставляют \(BD\) со стороной \(AC\), хотя нужно \(BD\) с \(AB\). 2. Забывают, что \(BD+DC=BC\). 3. Подставляют в формулу длины биссектрисы сторону, которая не является противоположной вершине. 4. Путают биссектрису с медианой: они совпадают не в любом треугольнике, а, например, в равнобедренном при проведении к основанию. 5. Не проверяют единицы измерения и сумму найденных отрезков.
Универсальный алгоритм решения
- Сделайте чертёж и обозначьте вершину, из которой проведена биссектриса.
- Определите противоположную сторону и её части: например, \(BC=BD+DC\).
- Запишите теорему: \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\).
- Выберите неизвестную: одну переменную для пропорции или готовую формулу для длины биссектрисы.
- Решите уравнение, упростите корень и укажите единицы измерения.
- Проверьте результат по сумме отрезков, отношению или геометрическому смыслу.
Быстрая проверка
Проверь знания перед решением задач
Главное
- Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам: \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\).
- Для нахождения частей стороны используйте также равенство \(BD+DC=BC\).
- Длину биссектрисы находят по формуле через три стороны, внимательно выбирая противоположную сторону.
- В задачах с площадями отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению их оснований.
- Всегда сопоставляйте отрезки и стороны в одном порядке и проверяйте ответ.