Общие касательные двух окружностей
Общая касательная двух окружностей — прямая, которая касается обеих окружностей. Число таких прямых определяется расстоянием между центрами и радиусами окружностей; для вычислений удобно рассматривать прямоугольные треугольники, образованные центрами, радиусами и отрезком касательной.
Основные понятия и взаимное положение
Сначала вспомним свойства касательной к окружности: касательная имеет с окружностью одну общую точку, а радиус, проведённый в эту точку, перпендикулярен касательной. Поэтому при построении общей касательной радиусы к точкам касания образуют прямые углы с одной и той же прямой.
Общей касательной двух окружностей называется прямая, имеющая с каждой из них ровно одну общую точку. Эти точки называют точками касания. Касательная, не пересекающая отрезок между центрами окружностей, называется внешней; касательная, пересекающая этот отрезок, — внутренней.
Пусть центры окружностей — \(O_1\) и \(O_2\), радиусы — \(r_1\) и \(r_2\), а расстояние между центрами — \(d=O_1O_2\). Для определения числа общих касательных сравнивают \(d\) с \(r_1+r_2\) и \(|r_1-r_2|\). Полезно также повторить взаимное положение окружностей по центрам и способы нахождения точек пересечения двух окружностей.
| Условие | Взаимное положение | Число общих касательных |
|---|---|---|
| \(d>r_1+r_2\) | Окружности вне друг друга, не пересекаются | 4 |
| \(d=r_1+r_2\) | Внешнее касание | 3 |
| \(|r_1-r_2|<d<r_1+r_2\) | Две точки пересечения | 2 |
| \(d=|r_1-r_2|\), \(r_1\ne r_2\) | Внутреннее касание | 1 |
| \(d<|r_1-r_2|\) | Одна окружность внутри другой, пересечений нет | 0 |
| \(d=0\), \(r_1=r_2\) | Совпадающие окружности | Бесконечно много |
Если окружности не совпадают, число общих касательных зависит от положения центров: при \(d>r_1+r_2\) их четыре, при внешнем касании — три, при пересечении — две, при внутреннем касании — одна, а при расположении одной окружности внутри другой без касания — ни одной.
Формулы для длины общей касательной
Обозначим через \(L\) отрезок общей касательной между точками касания. Для внешней касательной радиусы направлены одинаково относительно прямой, поэтому разность радиусов вместе с \(L\) образует катеты прямоугольного треугольника. Для внутренней касательной радиусы направлены навстречу, поэтому используется сумма радиусов.
Формула для внешней общей касательной применима при \(d\ge |r_1-r_2|\), а формула для внутренней — при \(d\ge r_1+r_2\). Если подкоренное выражение равно нулю, соответствующая касательная касается окружностей в одной общей точке, и длина отрезка между точками касания равна нулю.
Внешние касательные существуют также при внутреннем касании, но в этом случае их точки касания совпадают в предельном смысле и остаётся одна общая касательная. При внешнем касании внутренние касательные вырождаются в одну прямую через общую точку касания.
У двух окружностей \(r_1=3\), \(r_2=5\), а расстояние между центрами равно \(10\). Сколько общих касательных у окружностей?
Построение общих касательных
Построение выполняют с помощью параллельного переноса одной окружности или с помощью вспомогательных окружностей. Для внешних касательных мысленно уменьшают большую окружность на радиус меньшей: расстояние от \(O_2\) до искомой прямой должно быть \(r_2-r_1\). Для внутренних касательных радиусы складываются: вспомогательная окружность имеет радиус \(r_1+r_2\).
- Проведите линию центров \(O_1O_2\) и определите \(d\), \(r_1\), \(r_2\).
- Для внешних касательных постройте окружность с центром \(O_2\) и радиусом \(r_2-r_1\) либо используйте параллельный перенос окружности меньшего радиуса.
- Проведите из центра \(O_1\) касательные к вспомогательной окружности. Полученные направления дают внешние общие касательные.
- Для внутренних касательных постройте вспомогательную окружность радиуса \(r_1+r_2\) с центром в одном из центров. Касательные к ней определяют направления внутренних общих касательных.
- Восстановите перпендикуляры из центров к найденным прямым. Их основания — точки касания.
Если требуется только построить касательные циркулем и линейкой, удобно использовать факт: множество точек, из которых к окружности можно провести касательные заданной длины, связано с прямоугольными треугольниками. В экзаменационных задачах чаще требуется не полное построение, а вычисление длины, расстояния или радиуса.
Разобранный пример
Расстояние между центрами двух окружностей равно \(13\), радиусы равны \(5\) и \(9\). Найдём длины отрезков внешних и внутренних общих касательных.
Жауабы: две внешние общие касательные имеют одинаковую длину отрезка между точками касания \(3\sqrt{17}\). Внутренних общих касательных нет, потому что окружности пересекаются: \(|9-5|<13<9+5\).
Если касательная обходится с одной стороны отрезка \(O_1O_2\), берите разность радиусов. Если прямая проходит между центрами и радиусы оказываются по разные стороны от неё, берите сумму радиусов. После вычисления обязательно проверьте, что подкоренное выражение неотрицательно.
Частые ошибки и связь с пересечением окружностей
1. Путают внешнюю и внутреннюю касательные и используют \(r_1+r_2\) вместо \(|r_1-r_2|\). 2. Не проверяют существование касательной: при \(d<r_1+r_2\) внутренней касательной нет. 3. Считают расстояние между центрами равным длине касательной. Это разные отрезки. 4. Забывают, что радиус к точке касания перпендикулярен касательной. 5. При поиске точек пересечения окружностей используют только условие касания, хотя для двух точек нужно \(|r_1-r_2|<d<r_1+r_2\).
Запрос «найти точки пересечения двух окружностей» относится прежде всего к пересечению двух окружностей, а не к общим касательным. Однако эти темы связаны: при двух точках пересечения существуют две внешние общие касательные и отсутствуют внутренние; при касании одна из касательных появляется как предельный случай.
Внешняя касательная — разность радиусов: \(L^2=d^2-(r_1-r_2)^2\). Внутренняя касательная — сумма радиусов: \(L^2=d^2-(r_1+r_2)^2\).
Итоговая проверка
Главное
- Число общих касательных определяется сравнением \(d\) с \(r_1+r_2\) и \(|r_1-r_2|\).
- Длина внешней касательной равна \(\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2}\).
- Длина внутренней касательной равна \(\sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2}\).
- В точке касания радиус перпендикулярен касательной.
- Перед вычислением определите взаимное положение окружностей и проверьте существование нужного типа касательных.