Задания № 7, 9 · ЕГЭ

Взаимное положение двух окружностей

Как по радиусам и расстоянию между центрами определить число точек пересечения окружностей

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Число общих точек двух окружностей определяется сравнением расстояния между их центрами с радиусами. Две окружности могут иметь 0, 1 или 2 общие точки, а в отдельных случаях совпадать.

Взаимное положение двух окружностей — это расположение окружностей относительно друг друга, которое определяют по радиусам \(R\) и \(r\) и расстоянию \(d\) между их центрами. Если центры имеют координаты, расстояние \(d\) находят по формуле расстояния между точками на координатной плоскости.

Обозначим радиусы окружностей через \(R\) и \(r\), а расстояние между центрами — через \(d\). При \(R\ge r\) число общих точек определяется так:

\[\begin{array}{c|c} \text{Условие} & \text{Число общих точек}\\ d>R+r & 0\\ d=R+r & 1\\ R-r<d<R+r & 2\\ d=R-r & 1\\ 0\le d<R-r & 0 \end{array}\]

Если \(d=0\) и \(R=r\), окружности совпадают: у них бесконечно много общих точек. Если \(d=0\) и \(R\ne r\), общих точек нет. Условия \(d=R+r\) и \(d=|R-r|\) означают касание окружностей: в первом случае внешнее, во втором — внутреннее.

№

Пример

Радиусы окружностей равны \(5\) см и \(3\) см, расстояние между центрами равно \(6\) см. Так как \(5-3<6<5+3\), то есть \(2<6<8\), окружности имеют две общие точки. Чтобы найти сами точки по координатам, используют уравнения окружностей; общий метод разобран на странице пересечения двух окружностей.

Не путайте касание и пересечение

При касании окружности тоже имеют общую точку, поэтому это частный случай пересечения, но точка только одна. Равенство \(d=R+r\) или \(d=|R-r|\) нельзя считать условием двух точек.

Проверьте себя

Радиусы окружностей равны \(7\) и \(4\), а расстояние между центрами — \(3\). Сколько общих точек?

Главное за минуту

Главное

Сравните \(d\) с \(R+r\) и \(|R-r|\).
Две общие точки: \(|R-r|<d<R+r\); одна общая точка: \(d=R+r\) или \(d=|R-r|\).
Для нахождения расстояния между центрами по координатам сначала изучите расстояние между точками на координатной плоскости.