Нахождение углов треугольника по сторонам
Если известны три стороны треугольника, его углы находят с помощью теоремы косинусов. Такой способ называют решением треугольника по трём сторонам: сначала вычисляют один угол, затем второй, а третий находят по сумме углов треугольника.
Обозначения и условие существования треугольника
В треугольнике \(ABC\) сторона \(a\) лежит напротив угла \(A\), сторона \(b\) — напротив угла \(B\), а сторона \(c\) — напротив угла \(C\). Это соответствие важно сохранить: в формуле для угла \(A\) используются стороны \(b\) и \(c\), заключающие этот угол, и противоположная им сторона \(a\).
Решить треугольник — значит найти его неизвестные стороны и углы. В этой теме все три стороны уже известны, поэтому требуется определить углы \(A\), \(B\) и \(C\).
Для существования треугольника сумма любых двух его сторон должна быть больше третьей: \(a+b>c\), \(a+c>b\), \(b+c>a\). На практике достаточно проверить, что сумма двух меньших сторон больше самой длинной.
Если это условие не выполняется, треугольник построить нельзя, поэтому находить его углы бессмысленно. Если две стороны равны, то противоположные им углы также равны; это может упростить вычисления.
Формулы для нахождения углов
Основная формула получается из теоремы косинусов. Для угла \(A\) сторона \(a\) является противоположной, а стороны \(b\) и \(c\) образуют этот угол.
Выразим косинус угла:
Аналогично получаются две другие формулы:
После вычисления косинуса угол находят обратной операцией: \(A=\arccos(\cos A)\). Калькулятор должен быть переключён в режим градусов (DEG), а не радиан (RAD).
В числителе стоит сумма квадратов двух сторон, образующих угол, минус квадрат противоположной стороны. В знаменателе — удвоенное произведение сторон, образующих угол.
| Угол | Противоположная сторона | Формула |
|---|---|---|
| \(A\) | \(a\) | \(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) |
| \(B\) | \(b\) | \(\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\) |
| \(C\) | \(c\) | \(\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) |
Угол напротив самой длинной стороны — самый большой. Поэтому часто удобно сначала найти именно его: значение косинуса будет отрицательным, нулевым или положительным в зависимости от вида треугольника.
- Если самая длинная сторона в квадрате меньше суммы квадратов двух других, треугольник остроугольный.
- Если равна, треугольник прямоугольный.
- Если больше, треугольник тупоугольный.
Стороны \(a\), \(b\) и \(c\) лежат напротив углов \(A\), \(B\) и \(C\). Какая формула верна для угла \(A\)?
Алгоритм решения по трём сторонам
Записывайте решение последовательно. Это помогает не перепутать стороны и позволяет проверить результат.
- Проверьте неравенство треугольника.
- Определите, какая сторона напротив каждого угла.
- Выберите угол, обычно самый большой, и запишите формулу косинусов.
- Подставьте числа, вычислите косинус, затем угол на калькуляторе в градусах.
- Найдите второй угол по аналогичной формуле или по теореме косинусов.
- Третий угол вычислите как \(180^\circ-A-B\).
- Проверьте, что углы положительны, их сумма равна \(180^\circ\), а большему углу соответствует большая сторона.
Удобно начинать с угла напротив наибольшей стороны. Если расчёт выполнен верно, этот угол должен оказаться наибольшим. Для второго угла можно использовать либо формулу косинусов, либо сумму углов после нахождения первого и третьего.
Разобранный пример
В треугольнике \(ABC\) известны стороны \(a=13\), \(b=14\), \(c=15\). Найдите углы треугольника с точностью до \(1^\circ\).
Ответ с округлением до градуса: \(A\approx53^\circ\), \(B\approx60^\circ\), \(C\approx67^\circ\). Проверка: \(53^\circ+60^\circ+67^\circ=180^\circ\). Кроме того, \(13<14<15\) и \(53^\circ<60^\circ<67^\circ\), значит соответствие сторон и углов соблюдено.
1. Неправильная противоположная сторона. Для угла \(A\) используется \(a\), а не любая сторона из рисунка. 2. Пропуск скобок. Вводите в калькулятор числитель и знаменатель отдельно. 3. Режим радиан. Ответ должен быть в градусах. 4. Округление слишком рано. Сначала вычисляйте значения с несколькими знаками, затем округляйте углы. 5. Нарушение порядка сторон. Самой большой стороне должен соответствовать самый большой угол.
Проверка ответа и особые случаи
После вычислений полезно выполнить несколько быстрых проверок. Сумма углов должна быть равна \(180^\circ\) с учётом погрешности округления. Каждый угол должен быть больше \(0^\circ\) и меньше \(180^\circ\). Если стороны равны, соответствующие углы должны совпадать.
Если \(a^2=b^2+c^2\), угол \(A\) прямой и равен \(90^\circ\). Если \(a^2<b^2+c^2\), угол \(A\) острый; если \(a^2>b^2+c^2\), он тупой. Такое сравнение удобно сделать до вычисления обратного косинуса и использовать как дополнительную проверку.
Если в условии требуется ответ в градусах, обычно округляйте в конце. Например, \(67{,}4^\circ\) при округлении до целого даёт \(67^\circ\), а \(67{,}5^\circ\) — \(68^\circ\).
Быстрая проверка
Главное
- При известных трёх сторонах углы находят по теореме косинусов.
- Для угла \(A\): \(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\); аналогично записываются формулы для \(B\) и \(C\).
- Сначала проверьте неравенство треугольника, затем сопоставьте каждой стороне противоположный угол.
- Калькулятор используйте в режиме градусов, а округление выполняйте в конце.
- Проверьте ответ по сумме углов, порядку сторон и величине углов.