Задание № 16 · ОГЭ

Площадь прямоугольника через диагональ

Как найти площадь прямоугольника по диагонали и углу её наклона к стороне

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Площадь прямоугольника можно вычислить, если известны длина диагонали и угол между этой диагональю и одной из сторон. Для этого используется формула \(S=\frac{d^2\sin\alpha}{2}\).

Сначала полезно повторить свойства прямоугольника и диагонали прямоугольника. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, поэтому площадь всего прямоугольника в два раза больше площади одного из них.

Способ вычисления площади прямоугольника по длине его диагонали \(d\) и углу \(\alpha\) между диагональю и одной из сторон. Формула применима при \(0^\circ<\alpha<90^\circ\).

Формула

\[S=\frac{d^2\sin\alpha}{2}\]

Здесь \(S\) — площадь прямоугольника, \(d\) — длина диагонали, а \(\alpha\) — угол между диагональю и выбранной стороной. Если угол дан в градусах, синус находят по таблице или с помощью калькулятора.

Почему работает формула

Пусть диагональ образует с одной стороной угол \(\alpha\). Тогда стороны прямоугольника равны \(d\cos\alpha\) и \(d\sin\alpha\). Их произведение даёт \(S=(d\cos\alpha)(d\sin\alpha)=d^2\sin\alpha\cos\alpha\). Однако угол между диагональю и сторонами в таком выводе нужно выбрать корректно: удобнее рассматривать площадь треугольника с двумя диагоналями или использовать \(2S=d^2\sin(2\alpha)\). Поэтому итоговая формула зависит от того, какой именно угол обозначен.

Если \(\alpha\) — угол между диагональю и стороной, то точная формула имеет вид \(S=\frac{d^2\sin(2\alpha)}{2}\). Формула \(\frac{d^2\sin\alpha}{2}\) используется, когда \(\alpha\) — угол между диагоналями.

№

Пример

Диагональ прямоугольника равна \(10\) см, а угол между диагональю и стороной равен \(30^\circ\). Тогда \(S=\frac{10^2\sin60^\circ}{2}=50\cdot\frac{\sqrt3}{2}=25\sqrt3\ \text{см}^2\).

Не перепутайте углы

Угол между диагональю и стороной — это не угол между диагоналями. Если дан угол \(\alpha\) между диагональю и стороной, используйте \(S=\frac{d^2\sin(2\alpha)}{2}\). Если дан угол между диагоналями, тогда применяется \(S=\frac{d^2\sin\alpha}{2}\).

Проверьте себя

Диагональ прямоугольника равна \(8\) см, угол между диагональю и стороной — \(45^\circ\). Какая формула нужна?

Главное за минуту

Главное

При угле между диагональю и стороной: \(S=\frac{d^2\sin(2\alpha)}{2}\).
При угле между диагоналями: \(S=\frac{d^2\sin\alpha}{2}\).
Перед подстановкой внимательно определите, между какими отрезками задан угол.