Прямоугольник
Прямоугольник — это выпуклый четырёхугольник с четырьмя прямыми углами. У него противоположные стороны равны и параллельны, а диагонали равны и пересекаются в одной точке, делясь пополам.
Признак прямоугольника
Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником: соседние углы в параллелограмме в сумме дают \(180^\circ\), а противоположные углы равны. Также прямоугольник можно распознать по диагоналям: если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.
Основные свойства
- Все четыре угла равны \(90^\circ\).
- Противоположные стороны равны и параллельны.
- Соседние стороны перпендикулярны.
- Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
- Сумма углов равна \(360^\circ\).
Подробное доказательство этих фактов рассматривают в статье свойства прямоугольника. Диагональ прямоугольника образует прямоугольный треугольник со сторонами фигуры, поэтому при известных длинах сторон её можно найти по теореме Пифагора.
Площадь и периметр
Здесь \(a\) и \(b\) — длины соседних сторон, \(S\) — площадь, а \(P\) — периметр. Если известны диагональ \(d\) и одна сторона, вторую сторону можно выразить из \(d^2=a^2+b^2\), а затем вычислить площадь. Подробнее этот способ разобран в статье площадь прямоугольника через диагональ.
Стороны прямоугольника равны \(6\) см и \(4\) см. Тогда \(S=6\cdot4=24\text{ см}^2\), а \(P=2(6+4)=20\) см. Диагональ равна \(\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\) см.
Квадрат — частный случай прямоугольника: у квадрата не только все углы прямые, но и все стороны равны. Поэтому каждый квадрат является прямоугольником, но не каждый прямоугольник является квадратом.
Каким будет прямоугольник, если его диагонали равны \(10\) см?
Главное
- Прямоугольник — параллелограмм с четырьмя прямыми углами.
- Его диагонали равны и делятся пополам точкой пересечения.
- Площадь вычисляют по формуле \(S=ab\), периметр — по формуле \(P=2(a+b)\).