Квадрат
Квадрат — это особый четырёхугольник, у которого все стороны равны и каждый угол прямой. Поэтому квадрат одновременно обладает свойствами прямоугольника и ромба.
Признаки квадрата
Чтобы доказать, что четырёхугольник является квадратом, достаточно установить один из признаков: это прямоугольник с равными соседними сторонами; это ромб с прямым углом; это параллелограмм, у которого диагонали равны и перпендикулярны. У квадрата диагонали пересекаются в одной точке, делятся пополам, равны и перпендикулярны.
Формулы квадрата
Пусть \(a\) — длина стороны квадрата, а \(d\) — длина его диагонали.
Диагональ получается из прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами квадрата: по теореме Пифагора \(d^2=a^2+a^2=2a^2\). Обратные формулы также полезны: \(a=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{d\sqrt{2}}{2}\), \(a=\frac{P}{4}\) или \(a=\sqrt{S}\).
Сторона квадрата равна \(6\) см. Тогда диагональ \(d=6\sqrt{2}\) см, периметр \(P=4\cdot6=24\) см, а площадь \(S=6^2=36\) см\(^2\).
Диагональ квадрата не равна его стороне: она длиннее стороны в \(\sqrt{2}\) раза. Кроме того, квадрат и прямоугольник не являются разными фигурами: квадрат — это прямоугольник с дополнительным условием равенства всех сторон.
Чему равна сторона квадрата, если его диагональ равна \(10\sqrt{2}\) см?
Главное
- Квадрат имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла; это частный случай прямоугольника и ромба.
- Основные формулы: \(d=a\sqrt{2}\), \(P=4a\), \(S=a^2\).
- Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.