Трапеция
Трапеция — это четырехугольник с одной парой параллельных сторон. В конспекте разберём виды трапеций, её основания и боковые стороны, среднюю линию, формулу площади, а также важные свойства равнобедренной трапеции. Для уверенного решения задач сначала повторите определение четырехугольника и классификацию четырехугольников.
Определение и виды трапеций
Трапеция — это четырехугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна. Параллельные стороны называют основаниями, а две другие — боковыми сторонами.
На рисунке основания обозначены \(a\) и \(b\), боковые стороны — \(c\) и \(d\). Высота трапеции \(h\) — это перпендикулярное расстояние между прямыми, содержащими основания. Высота не обязана совпадать с боковой стороной.
- Произвольная трапеция — боковые стороны имеют разные длины и не образуют специальных углов.
- Равнобедренная трапеция — боковые стороны равны: \(c=d\).
- Прямоугольная трапеция — одна боковая сторона перпендикулярна основаниям; у неё два прямых угла.
Если \(AB\parallel CD\), то \(AB\) и \(CD\) — основания трапеции \(ABCD\), а \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны. Обычно большее основание обозначают \(a\), меньшее — \(b\), но формулы работают при любом порядке, если длины положительны.
Средняя линия трапеции
Средняя линия соединяет середины боковых сторон трапеции. Она параллельна основаниям и имеет длину, равную полусумме оснований. Подробное доказательство и типовые задачи собраны на странице средняя линия трапеции.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Здесь \(m\) — длина средней линии, а \(a\) и \(b\) — длины оснований. Из формулы можно найти неизвестное основание: \(a=2m-b\) или \(b=2m-a\).
Основания трапеции равны \(8\) и \(14\). Чему равна её средняя линия?
Площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту. Подробные преобразования формулы и дополнительные способы вычисления рассмотрены на странице площадь трапеции.
Чтобы найти площадь трапеции, сложите длины оснований, разделите сумму на \(2\) и умножьте результат на высоту: \(S=\frac{(a+b)h}{2}\).
Если известны площадь и основания, высота находится так: \(h=\frac{2S}{a+b}\). Если известны площадь и высота, сумма оснований равна \(a+b=\frac{2S}{h}\).
В формуле площади используется именно высота, то есть расстояние между основаниями. Боковая сторона может быть наклонной, поэтому подставлять её вместо \(h\) нельзя, если она не перпендикулярна основаниям.
Разобранный пример
В трапеции основания равны \(7\) и \(13\), а площадь равна \(80\). Найдём высоту и среднюю линию.
Ответ: средняя линия равна \(10\), высота равна \(8\). Проверка по основной формуле: \(S=\frac{(7+13)\cdot8}{2}=80\).
Равнобедренная трапеция
В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Это условие приводит к симметрии фигуры и позволяет получать дополнительные равенства углов, диагоналей и отрезков. Полный набор свойств рассматривается на странице равнобедренная трапеция.
Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны: \(AD=BC\).
В равнобедренной трапеции: 1) углы при каждом основании равны; 2) диагонали равны; 3) сумма противоположных углов равна \(180^\circ\); 4) существует ось симметрии, перпендикулярная основаниям и проходящая через их середины.
Если \(AB\parallel CD\) и \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, то \(\angle A=\angle B\), \(\angle D=\angle C\), а также \(AC=BD\). Так как основания параллельны, соседние углы на каждой боковой стороне являются односторонними внутренними и в сумме дают \(180^\circ\).
Полезная модель: если из концов меньшего основания опустить перпендикуляры на большее основание, то по краям образуются два равных прямоугольных треугольника. Поэтому разность оснований делится пополам. Если большее основание равно \(a\), меньшее — \(b\), то горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(\frac{a-b}{2}\).
Формула (3) получается из прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора. Она помогает найти высоту равнобедренной трапеции по боковой стороне и основаниям.
Частые ошибки и связь с другими темами
1. Называть основаниями любые противоположные стороны. Основания — только параллельные стороны. 2. Использовать боковую сторону вместо высоты. Это допустимо лишь в прямоугольной трапеции, если боковая сторона перпендикулярна основаниям. 3. Забывать деление на два в формулах \(m=\frac{a+b}{2}\) и \(S=\frac{(a+b)h}{2}\). 4. Считать равными углы при разных основаниях в любой трапеции. Такое равенство гарантировано только для равнобедренной трапеции. 5. Путать диагонали и боковые стороны. Диагонали соединяют противоположные вершины; специальные задачи разобраны на страницах диагонали трапеции и задачи на диагонали трапеции.
Для любой трапеции: \(m=\frac{a+b}{2}\) и \(S=\frac{(a+b)h}{2}\). Для равнобедренной трапеции: равны боковые стороны, углы при каждом основании и диагонали.
Быстрая проверка
Проверьте себя
Главное
- Трапеция имеет одну пару параллельных сторон — оснований; остальные стороны называются боковыми.
- Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме: \(m=\frac{a+b}{2}\).
- Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S=\frac{(a+b)h}{2}=mh\).
- В равнобедренной трапеции равны боковые стороны, углы при каждом основании и диагонали.
- Высота — перпендикуляр между основаниями; её нельзя без основания заменять боковой стороной.