Диагонали трапеции
Диагонали трапеции — это отрезки, соединяющие её противоположные вершины. В отличие от диагоналей параллелограмма, они обычно не равны и не делятся точкой пересечения пополам.
У диагоналей трапеции есть важное общее свойство: они пересекаются внутри трапеции и образуют пары подобных треугольников. Поэтому точка пересечения диагоналей делит обе диагонали в одном и том же отношении, равном отношению оснований.
Здесь \(O\) — точка пересечения диагоналей, а \(AD\) и \(BC\) — основания. Это соотношение позволяет находить части диагоналей, если известны основания и один из отрезков.
Если основания трапеции равны \(a\) и \(b\), а боковые стороны — \(c\) и \(d\), то сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех её сторон: \(AC^2+BD^2=a^2+b^2+c^2+d^2\). Формула полезна, когда требуется найти одну диагональ по другой и сторонам.
В трапеции \(ABCD\) основания \(AD=12\) и \(BC=8\). Диагонали пересекаются в точке \(O\), причём \(AO=9\). По формуле (1): \(\frac{AO}{OC}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\). Значит, \(\frac{9}{OC}=\frac{3}{2}\), откуда \(OC=6\), а \(AC=9+6=15\).
Диагонали трапеции не обязаны быть равными и не обязаны делиться пополам. Равенство диагоналей есть у равнобедренной трапеции, а деление диагоналей пополам — свойство параллелограмма. Общие сведения о диагоналях можно повторить на странице диагонали четырехугольника.
Основания трапеции равны \(10\) и \(6\). Если \(AO=5\), чему равен \(OC\)?
При решении задач сначала обозначьте основания и точку пересечения диагоналей, затем примените отношение (1). Если нужны длины сразу обеих диагоналей, используйте формулу суммы их квадратов и свойства трапеции.
Главное
- Диагонали трапеции соединяют противоположные вершины.
- Точка пересечения делит диагонали пропорционально основаниям: \(AO:OC=BO:OD=AD:BC\).
- Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов четырёх сторон трапеции.