ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 7, 11 · ЕГЭ

Задачи на диагонали трапеции

Как с помощью диагоналей находить стороны, углы и площадь трапеции
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Диагонали трапеции связывают её вершины и позволяют превратить задачу о четырёхугольнике в несколько задач о треугольниках. В этой теме используются свойства трапеции, сами диагонали трапеции, признаки равнобедренной трапеции, теорема косинусов и формулы площадей.

Обозначения и основные свойства

Пусть \(ABCD\) — трапеция, причём основания \(AD\) и \(BC\) параллельны: \(AD \parallel BC\). Боковые стороны — \(AB\) и \(CD\), диагонали — \(AC\) и \(BD\). Обычно большую основу обозначают \(a\), меньшую — \(b\), высоту — \(h\), боковые стороны — \(c\) и \(d\).

ADBCACBD
Трапеция ABCD: основания AD и BC, диагонали AC и BD.
D
Диагонали трапеции

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие противоположные вершины. В трапеции ABCD это отрезки \(AC\) и \(BD\).

T
Важные свойства диагоналей

1) В любой трапеции диагонали пересекаются. 2) Если трапеция равнобедренная, то её диагонали равны: \(AC=BD\). 3) Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная. 4) Точка пересечения диагоналей делит их пропорционально основаниям.

\[\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{AD}{BC}\]1

Здесь \(O\) — точка пересечения диагоналей. Например, если \(AD:BC=3:2\), то \(AO:OC=3:2\) и \(BO:OD=3:2\). Это свойство часто позволяет найти неизвестные части диагоналей.

Связь диагоналей с основаниями и площадью

Диагональ делит трапецию на два треугольника. Если провести \(AC\), получаются треугольники \(ABC\) и \(ACD\). Они имеют общую высоту к прямым \(BC\) и \(AD\), поэтому их площади относятся как основания.

\[\frac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\frac{BC}{AD}=\frac{b}{a}\]

Аналогично диагональ \(BD\) делит трапецию на треугольники \(ABD\) и \(BCD\), площади которых относятся как \(AD:BC\). Это полезно, если известна площадь всей трапеции или одного из треугольников.

T
Площадь через основания и высоту

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. Диагонали позволяют найти высоту через прямоугольные треугольники или разделить фигуру на треугольники.

\[S=\frac{(a+b)h}{2}\]

Если известны диагональ и угол её наклона к основанию, высота находится как противолежащий катет: \(h=d\sin\alpha\). Если известны диагональ и горизонтальная проекция, применяют теорему Пифагора.

\[h=d\sin\alpha,\qquad x=d\cos\alpha\]

Для равнобедренной трапеции удобно опустить высоты из концов меньшего основания. Тогда большая основа распадается на три отрезка: боковую проекцию, меньшую основу и вторую боковую проекцию. При равных боковых сторонах проекции равны, поэтому каждая из них равна \(\frac{a-b}{2}\).

\[c^2=h^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\]
Проверь себя

В равнобедренной трапеции основания равны \(14\) и \(8\). Чему равна горизонтальная проекция каждой боковой стороны?

Нахождение углов по диагоналям

Угол между диагональю и основанием удобно рассматривать в треугольнике, образованном диагональю, высотой и горизонтальной проекцией. Если известны три стороны треугольника, используют теорему косинусов.

\[\cos\alpha=\frac{u^2+v^2-w^2}{2uv}\]

Здесь \(u\) и \(v\) — стороны, заключающие угол \(\alpha\), а \(w\) — сторона, лежащая напротив этого угла. В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому углы, которые диагонали образуют с параллельными основаниями, связаны симметрией. При необходимости используются также свойства углов трапеции: односторонние углы при боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\).

Как выбрать способ

Если в условии есть высота и диагональ — сначала ищите синус или теорему Пифагора. Если даны три стороны треугольника с диагональю — применяйте теорему косинусов. Если требуется площадь — после нахождения \(h\) используйте \(S=\frac{(a+b)h}{2}\).

Разобранный пример: диагональ и площадь равнобедренной трапеции

№
Условие

В равнобедренной трапеции основания равны \(14\) и \(8\), а диагональ равна \(10\). Найдите высоту, боковую сторону и площадь трапеции.

Обозначим большую основу \(AD=14\), меньшую основу \(BC=8\), диагональ \(AC=10\). Опустим из вершины \(B\) высоту \(BH\) на основание \(AD\). В равнобедренной трапеции боковая проекция равна \(\frac{14-8}{2}=3\). Для диагонали горизонтальная проекция от \(A\) до вертикали через \(C\) равна \(8+3=11\).

1
Найдём горизонтальную проекцию диагонали \(AC\).
\(\displaystyle x=BC+\frac{AD-BC}{2}=8+\frac{14-8}{2}=11\)
2
В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(AC=10\) катеты — высота \(h\) и проекция \(x=11\).
\(\displaystyle AC^2=h^2+x^2\)
3
Подстановка даёт отрицательный квадрат высоты, значит выбранная конфигурация невозможна.
\(\displaystyle h^2=10^2-11^2=100-121=-21\)

Получили противоречие: диагональ не может быть короче своей горизонтальной проекции. Следовательно, такие данные невозможны. Это важная проверка перед вычислением: длина любой стороны прямоугольного треугольника, в том числе диагонали, должна быть не меньше каждого катета.

№
Исправленный вариант и решение

Если в условии диагональ равна \(13\), то задача становится корректной. При той же конфигурации найдём высоту, боковую сторону и площадь.

1
Горизонтальная проекция диагонали остаётся равной \(11\).
\(\displaystyle x=8+\frac{14-8}{2}=11\)
2
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(13\).
\(\displaystyle h=\sqrt{13^2-11^2}=\sqrt{169-121}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)
3
Боковая сторона имеет горизонтальную проекцию \(3\) и вертикальную составляющую \(h\).
\(\displaystyle c=\sqrt{h^2+3^2}=\sqrt{48+9}=\sqrt{57}\)
4
Подставим основания и высоту в формулу площади.
\(\displaystyle S=\frac{14+8}{2}\cdot4\sqrt{3}=44\sqrt{3}\)

Ответ для исправленного варианта: \(h=4\sqrt3\), боковая сторона \(\sqrt{57}\), площадь \(44\sqrt3\). В экзаменационной задаче аналогичная проверка помогает сразу обнаружить неверное понимание рисунка или перепутанную диагональ.

Точка пересечения диагоналей

Пусть диагонали пересекаются в точке \(O\). Из пропорций (1) можно находить неизвестные отрезки. Например, если \(AD=12\), \(BC=8\) и \(AO=9\), то \(\frac{AO}{OC}=\frac{12}{8}=\frac32\), поэтому \(OC=6\).

\[OC=AO\cdot\frac{BC}{AD},\qquad OD=BO\cdot\frac{BC}{AD}\]

Также можно восстановить всю диагональ: \(AC=AO+OC\), \(BD=BO+OD\). Важно не считать, что точка пересечения делит диагонали пополам: это верно для параллелограмма, но в обычной трапеции — только в специальных случаях.

Частые ошибки

!
Что проверять в решении

• Не путайте основания и боковые стороны: параллельны только \(AD\) и \(BC\).<br>• Не утверждайте, что диагонали любой трапеции равны — это свойство равнобедренной трапеции.<br>• В формуле \(\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}\) не меняйте порядок частей: какая часть относится к большему основанию, определяется рисунком.<br>• При использовании Пифагора диагональ должна быть гипотенузой и быть самой длинной стороной прямоугольного треугольника.<br>• Не забывайте, что высота перпендикулярна основаниям, а не обязательно диагонали.

Алгоритм решения задач

  1. Сделайте чертёж, обозначьте основания, боковые стороны, диагонали и их точку пересечения.
  2. Определите тип трапеции: если диагонали равны или боковые стороны равны, используйте свойства равнобедренной трапеции.
  3. Разбейте фигуру на треугольники высотой, диагональю или отрезками до точки \(O\).
  4. Выберите теорему: Пифагора, косинусов, отношений площадей или пропорцию диагоналей.
  5. Найдите высоту, затем сторону, угол или площадь; в конце проверьте размерность и выполнимость результата.
Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · площади
В трапеции основания равны \(10\) и \(6\). Как относятся площади треугольников, на которые диагональ делит трапецию?
Главное за минуту

Главное

  • Диагонали равнобедренной трапеции равны, а равенство диагоналей является признаком равнобедренной трапеции.
  • Точка пересечения диагоналей делит их отрезки пропорционально основаниям: \(AO/OC=BO/OD=AD/BC\).
  • Диагональ и высота образуют прямоугольный треугольник; применяйте Пифагора, синус или косинус.
  • Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S=\frac{(a+b)h}{2}\), а через диагональ её часто находят после определения высоты.
  • Перед вычислениями проверьте, что диагональ не короче своей проекции и что все полученные длины положительны.