Число сторон многоугольника по числу диагоналей
Число сторон многоугольника можно восстановить по числу его диагоналей: достаточно подставить это число в обратную формулу и выбрать положительный корень квадратного уравнения.
Формула
У \(n\)-угольника число диагоналей равно \(d=\frac{n(n-3)}{2}\). Здесь из каждой вершины можно провести \(n-3\) диагонали: нельзя соединять вершину с самой собой и с двумя соседними вершинами. Каждая диагональ при этом посчитана дважды, поэтому результат делят на \(2\).
Чтобы найти \(n\), подставьте известное значение \(d\) во вторую формулу. Полученное число должно быть целым и не меньше 3. Отрицательный корень квадратного уравнения не подходит, потому что число сторон положительно.
У многоугольника 20 диагоналей. Найдём число сторон: \(n=\frac{3+\sqrt{9+8\cdot20}}{2}=\frac{3+\sqrt{169}}{2}=\frac{3+13}{2}=8\). Значит, это восьмиугольник. Проверка: \(\frac{8(8-3)}{2}=20\) диагоналей.
Число диагоналей не равно числу сторон. Например, у четырёхугольника 4 стороны, но только 2 диагонали. Если в условии говорится о диагоналях, сначала обозначьте их число буквой \(d\), а искомое число сторон — буквой \(n\).
Сколько сторон у многоугольника, имеющего 35 диагоналей?
Главное
- Количество диагоналей: \(d=\frac{n(n-3)}{2}\).
- Число сторон: \(n=\frac{3+\sqrt{9+8d}}{2}\).
- Ответ должен быть целым числом \(n\ge3\); результат полезно проверить подстановкой в исходную формулу.