Задание № 19 · ОГЭ

Задачи на правильные многоугольники

Алгоритмы и формулы для задач на стороны, углы, апофему, периметр и площадь
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

В задачах на правильные многоугольники обычно нужно связать число сторон, длину стороны, углы, апофему, периметр и площадь. Удобный подход: сначала определить известные элементы, затем выбрать формулу и при необходимости свести задачу к прямоугольному треугольнику.

Основные понятия и свойства

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Для него существует описанная окружность, проходящая через все вершины, и вписанная окружность, касающаяся всех сторон. Центр обеих окружностей один и тот же; обозначим его буквой \(O\).

D
Определение

Сторона правильного многоугольника обозначается \(a\), число сторон — \(n\), периметр — \(P\), радиус описанной окружности — \(R\), а радиус вписанной окружности, или апофема, — \(r\).

T
Главное свойство

Если соединить центр правильного многоугольника с его вершинами, он разобьётся на \(n\) равных равнобедренных треугольников. Высота каждого такого треугольника равна апофеме и перпендикулярна стороне.

OABra
Центр O, апофема r и сторона AB правильного многоугольника.

Углы и число сторон

При работе с углами полезно вспомнить страницу «Угол правильного многоугольника». Внутренние углы правильного многоугольника равны, а центральные углы, опирающиеся на соседние вершины, также равны.

\[\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\]1

Здесь \(\alpha\) — внутренний угол. Центральный угол между радиусами к соседним вершинам равен:

\[\beta=\frac{360^\circ}{n}\]2

Если известен внутренний угол \(\alpha\), число сторон можно найти из формулы (1):

\[n=\frac{360^\circ}{180^\circ-\alpha}\]3
Приём

Если в условии дан угол при центре, сначала используйте \(n=360^\circ/\beta\). Если дан внутренний угол, применяйте формулу (3). Полученное число сторон обязательно должно быть целым числом не меньше 3.

Связь стороны, радиусов и апофемы

Рассмотрим половину одного из равнобедренных треугольников, образованных радиусами. В нём гипотенуза равна \(R\), один катет — \(r\), а второй катет — \(a/2\). Угол при центре равен \(\beta/2=180^\circ/n\).

1
В прямоугольном треугольнике половина стороны — противолежащий катет к углу \(180^\circ/n\).
\(\displaystyle \frac{a}{2}=R\sin\frac{180^\circ}{n}\)
2
Апофема — прилежащий катет этого же треугольника.
\(\displaystyle r=R\cos\frac{180^\circ}{n}\)
3
Разделим первое равенство на второе.
\(\displaystyle \tan\frac{180^\circ}{n}=\frac{a}{2r}\)
\[a=2R\sin\frac{180^\circ}{n}\]4
\[r=R\cos\frac{180^\circ}{n}\]5
\[a=2r\tan\frac{180^\circ}{n}\]6

В задачах без тригонометрии часто достаточно прямоугольного треугольника с известными катетами. Например, если известны \(R\) и \(a\), то по теореме Пифагора \(r=\sqrt{R^2-(a/2)^2}\).

Проверь себя

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Каков центральный угол?

Периметр и площадь

Периметр правильного многоугольника равен сумме \(n\) одинаковых сторон. Площадь можно найти как сумму площадей \(n\) равных треугольников с основанием \(a\) и высотой \(r\). Подробнее о геометрическом смысле апофемы см. на странице «Апофема правильного многоугольника», а о выводе площади — на странице «Площадь правильного многоугольника».

\[P=na\]7
\[S=\frac{Pr}{2}=\frac{nar}{2}\]8

Если известны площадь и периметр, апофема находится перестановкой формулы (8):

\[r=\frac{2S}{P}\]9

Если даны площадь и апофема, сначала найдите периметр \(P=2S/r\), а затем сторону \(a=P/n\). Если дана сторона, сначала вычислите периметр по формуле (7).

Разобранный пример

№
Задача

Апофема правильного восьмиугольника равна \(6\sqrt{2}\) см. Найдите его сторону, периметр и площадь.

У правильного восьмиугольника \(n=8\), поэтому половина центрального угла равна \(180^\circ/8=22{,}5^\circ\). Однако удобнее заметить, что соединение центра с концами двух соседних сторон образует прямоугольный треугольник с углом \(22{,}5^\circ\); для вычислений без таблиц можно использовать равнобедренный прямоугольный треугольник, построенный через диагональ квадрата, или формулу для правильного восьмиугольника \(a=2r(\sqrt2-1)\).

1
Подставляем апофему \(r=6\sqrt2\) в формулу стороны правильного восьмиугольника.
\(\displaystyle a=2\cdot6\sqrt2(\sqrt2-1)\)
2
Раскрываем скобки и упрощаем.
\(\displaystyle a=12\sqrt2(\sqrt2-1)=24-12\sqrt2\ \text{см}\)
3
Периметр равен числу сторон, умноженному на сторону.
\(\displaystyle P=8a=8(24-12\sqrt2)=192-96\sqrt2\ \text{см}\)
4
Площадь равна половине произведения периметра на апофему.
\(\displaystyle S=\frac{Pr}{2}=\frac{(192-96\sqrt2)\cdot6\sqrt2}{2}\)
5
Упрощаем выражение.
\(\displaystyle S=576\sqrt2-576=576(\sqrt2-1)\ \text{см}^2\)
Запомнить для частых случаев

Для квадрата \(n=4\): \(S=a^2\), \(r=a/2\). Для правильного треугольника \(n=3\): \(S=\frac{a^2\sqrt3}{4}\), \(r=\frac{a\sqrt3}{6}\). Для правильного шестиугольника \(n=6\): \(R=a\), \(r=\frac{a\sqrt3}{2}\), \(S=\frac{3\sqrt3}{2}a^2\).

!
Частые ошибки

Не путайте внутренний и центральный углы: их сумма не равна \(360^\circ\) для произвольного \(n\). В формуле площади используется именно апофема, а не радиус описанной окружности. Следите за единицами: если сторона дана в сантиметрах, площадь выражается в квадратных сантиметрах. При округлении не заменяйте точное значение приближённым слишком рано.

Алгоритм решения задач

  1. Определите число сторон \(n\) и выпишите все данные: \(a\), \(P\), \(R\), \(r\), \(S\), углы.
  2. Если число сторон неизвестно, найдите его через центральный или внутренний угол.
  3. Выберите связь между величинами: \(P=na\), \(S=Pr/2\), либо формулы прямоугольного треугольника.
  4. Подставьте числа, сохраняя точные значения корней и дробей.
  5. Проверьте результат: периметр должен быть положительным, площадь — положительной, а \(P\) должен быть кратен числу сторон при целой стороне.

В задачах, где число диагоналей помогает определить \(n\), используйте формулу из страницы «Число сторон многоугольника по числу диагоналей». Если в условии появляется хорда или расстояние от центра до хорды, полезны методы страницы «Радиус окружности по хорде и расстоянию до центра».

Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · периметр
Чему равен периметр правильного десятиугольника со стороной \(3\) см?
Главное за минуту

Главное

  • Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы; его центр одинаков для вписанной и описанной окружностей.
  • Внутренний угол: \(\alpha=180^\circ-360^\circ/n\), центральный угол: \(\beta=360^\circ/n\).
  • Периметр: \(P=na\); площадь: \(S=Pr/2\).
  • Апофема, сторона и радиус связаны прямоугольным треугольником: \(a=2r\tan(180^\circ/n)\) и \(a=2R\sin(180^\circ/n)\).
  • Решение начинайте с определения числа сторон и выбора формулы, затем обязательно проверяйте единицы и смысл результата.